1、函数求值域方法之值域换元法求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。五种常见换元办法：一般换元法；三角换元法（难度较大） ；三角换常值换元法；双换元法；整体换元法类型一：一般换元法形如：y=ax+b dcx方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令 t=，用 t 表示 x，带入原函数得到一个关于 t 的二次函数，求解值域即可。dcx例 1：求函数 的值域1)(xf分析：本题 ，在取值区间内，x 单调增， 单调增，两个单调增
2、,11x的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。解：另 （ ） ，则 ，1xt0t12tx代入 得 （ ）)(f2tf0本题实求二次函数在指定区间内的范围当 ，0t43)(xf所以 ,f变式：求函数 的值域1)(xf分析：本题 ，在取值区间内，x 单调增， 单调增，两个单调增,11x的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以 即可)(f答案： ),1(xf由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习练习：求 的值域132)(xxf类型二：三角换元记住一句话：三角换元 一个大原则，三个常用公式A、一个大原则： 有界，换成xcos,in无界，换成 ta
3、B、三个常用公式：遇到 ，且前面系数为 ，常用2x11cossin22遇到 ，且前面系数为 1，常用2x 22tan1cos巧用万能公式： 2tan1si2tan1cos三角换元时，尤其注意确定好 的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。 例 2：求 的值域21)(xxf分析：本题若使用一般换元法，则只能得到 与 之间的关系，操作起来比较2xt麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为 前面的系数是-1，所以使用公式换元2x解：令 ， ， ，sinx0121,1,sin另 （原因：方便后面化出来的 ，不用讨论正负性了）,co代入 ，得 =)
4、(xf 2sin1si)(f |s|i，2,coixf辅助角公式，合一变形得： （ ）)4sin(2)(f 2,，43,1xf变式：求 的值域2)(xxf分析：另 即可 sin2x答案： ,例 3 ：求 的值域1)(2xf分析：本题 前面的系数是 1，所以考虑使用公式2解： ,012xx，另 U)4,2(,tan)(， )4sin(21cosin1cosin1ta)(22 xfU ， U）（ 4,2),()0,4(,(U,()xf ),1(变式： 求 的值域12)(xf分析： 11,20,02 xxx 或或，使用三角公式,1但具体过程问群主哟答案： 2,1,)(xf例 4：求 的值域4231)
5、(xxf分析：本题是高次式求值域，通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进行三角换元，再求解值域。解： 1x)1()22xf到这一步以后，自然而然想到我们的第三个三角公式万能公式2tan1si2tan1cos2对 f（x）再进行转化令 )2,(,tanRx4sin1)2cos(sin1ta12)(2 f4,)(,(4xf类型三：三角换常值换元法本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，221)(xxf此类题目主要是针对分式形式的三角函数，用到的换元方法是万能公式的逆向应用。由于 ，可令 ，则 就转化cos2tan1,si2tan1 2tancos,i成了关于 t
6、 的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解（在另外专题中讲解）例 5：求 的值域xxfcos2in)(分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法。利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于 t 的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解。解：方法一：万能公式法 xxxxf 2tan312tan1tcos2in)( 令 ，但是 ，有 范 围 要 求虽 然Rt t,0,tan Rx整 体2tanR，当 ，分母是对勾函数，应231)(txf txftxft 132)(0,)(时 ，时 ，用对勾函数的相关性质，可得值域 ,)(f方法二：斜率法（联系 群主 要哦）类型四：双换元法例 6：求 的值域31)(xxf分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉。有根号的题目，要么换元，要么平方，要么分子分母有理化。本题介绍两种解法。解：方法一：平方法 3243231)(2 xxxf 10,本题实求在 时， 的取值范围，二次函数求范围,3x32x， ，4208,4)(f 2,)(f方法二：双换元法令 13,1xxnm20,4312xn本题等价于：已知 ，求2nmnmxf)(接下来有两种思路：思路一：
