1、 椭 圆考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A 级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质， B 级要求知 识 梳 理1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于 定长(大于 F1F2)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距用符号表示为 PF1PF 22a(2 aF1F2)(2)第二定义：平面内到定点 F 和定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比是一个常数 e(0b0)的离心率 e (02c，a 2b 2c 2，a0，b0 ，c0标准方程及图形 1(ab0)x2a2 y2b
2、2 1(ab0)y2a2 x2b2范围 |x|a，|y|b |y|a，|x |b对称性 曲线关于原点、x 轴、y 轴对称顶点长轴顶点(a,0) 短轴顶点(0，b)长轴顶点(0 ，a) 短轴顶点(b,0)焦点 (c,0) (0，c)长、短轴的长度 长轴长 2a，短轴长 2b焦距 F1F2 2c(c2a 2b 2)准线方程xa2cy a2c离心率 e (0,1)，e 越大，椭圆越扁， e 越小，椭圆越圆ca诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点 F1， F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( )(3)椭圆既是轴对称
3、图形，又是中心对称图形( )(4)方程 mx2ny 21(m0，n0 ，mn)表示的曲线是椭圆 ( )(5) 1(ab0)与 1(a b0)的焦距相同( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于 F1F2 时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 F1F2 时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于 F1F2 时，不存在这样的图形(2)因为 e ，所以 e 越大，则 越小，椭圆就越扁ca a2 b2a 1 (ba)2 ba答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2(2015广东卷改编 )已知椭圆 1( m0)的左焦点为 F1(4,0)，则x225 y2m2m_.解
4、析 依题意有 25m 216，m0，m3.答案 33已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，x2a2 y2b2 33过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为3_解析 由椭圆的定义可知AF 1B 的周长为 4a，所以 4a4 ，故 a ，又由3 3e ，得 c1，所以 b2a 2c 22，则 C 的方程为 1.ca 33 x23 y22答案 1x23 y224(2016江苏卷 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 1( ab0) 的右焦点，直线 y 与椭圆交于 B，C 两点，且x2a2 y2b2 b
5、2BFC90，则该椭圆的离心率是_解析 联立方程组Error!解得 B，C 两点坐标为B ，C ，又 F(c,0)，( 32a，b2) ( 3a2，b2)则 ， ，FB ( 3a2 c，b2) FC ( 3a2 c，b2)又由BFC90，可得 0，代入坐标可得：FB FC c2 a2 0，34 b24又因为 b2a 2c 2.代入式可化简为 ，则椭圆离心率为 e .c2a2 23 ca 23 63答案 635已知点 P 是椭圆 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F 2 为顶x25 y24点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a
6、2b 2541，所以 c1，则 F1(1,0)， F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以y1，把 y1 代入 1，得 x ，又 x0，所以 x ，P 点x25 y24 152 152坐标为 或 .(152，1) ( 152， 1)答案 或(152，1) ( 152， 1)考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1】(1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是_(2)已知 F1，F 2 是椭圆 C： 1( ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C
7、上的一x2a2 y2b2点，且F 1PF260，SPF 1F23 ，则 b_.3解析 (1)连接 QA.由已知得 QAQP .所以 QOQAQOQPOP r .又因为点 A 在圆内，所以，OAOP，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆(2)由题意得 PF1PF 22a，又F 1PF260，所以 PF PF 2PF 1PF2cos 60F 1F ，21 2 2所以(PF 1PF 2)23PF 1PF24c 2，所以 3PF1PF24a 24c 24b 2，所以 PF1PF2 b2，43所以 SPF 1F2 PF1PF2sin 60 b2 12 12 43 32b2
8、3 ，所以 b3.33 3答案 (1)椭圆 (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(2)椭圆的定义式必须满足 2aF 1F2.【训练 1】 (1)已知椭圆 1 的两个焦点是 F1，F 2，点 P 在该椭圆上，若x24 y22PF1PF 22，则PF 1F2 的面积是_(2)(2017保定一模)与圆 C1：(x3) 2y 21 外切，且与圆 C2：(x 3) 2y 281内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_解析 (1)由椭圆的方程可知 a2，c ，且 PF1PF 22a4，又2PF
9、1PF 22，所以 PF1 3，PF 21.又 F1F22c2 ，所以有2PF PF F 1F ，即PF 1F2 为直角三角形，且PF 2F 为直角，21 2 2所以 SPF 1F2 F1F2PF2 2 1 .12 12 2 2(2)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有 PC1r1，PC 29r.所以 PC1PC 210C 1C2，即 P 在以 C1(3,0) ，C 2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点 P 的轨迹方程为 1.x225 y216答案 (1) (2) 12x225 y216考点二 椭圆的标准方程【例 2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经
10、过两点 ，( 32，52)( ， )，则椭圆方程为_3 5(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆标准方程为3 5y225 x29_解析 (1)设椭圆方程为 mx2ny 21(m，n0，mn)由Error!解得 m ，n .16 110椭圆标准方程为 1.y210 x26(2)法一 椭圆 1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4.y225 x29由椭圆的定义知，2a ，解得 3 02 5 42 3 02 5 42a2 .5由 c2a 2b 2 可得 b24.所以所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24法二 设所求椭圆方程为 1(kb0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶
11、点 P 为 C 上一点，x2a2 y2b2且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM经过 OE 的中点，则 C 的离心率为_(2)已知椭圆 1(abc 0，a 2b 2c 2)的左、右焦点分别为 F1，F 2，x2a2 y2b2若以 F2 为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为T，且|PT| 的最小值不小于 (ac)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是32_解析 (1)设 M(c，m)，则 E ，OE 的中点为 D，(0，ama c)则 D ，又 B，D，M 三点共线，(0， am2a c)所以 ，所以 a3c
12、，所以 e .m2a c ma c 13(2)因为 PT (bc)，PF2 b c2而 PF2 的最小值为 ac ，所以 PT 的最小值为 .依题意，有a c2 b c2 (ac)，所以(ac) 24( b c)2，所以 ac2(bc )，所a c2 b c232以 ac2b，所以 (ac )24(a 2c 2)，所以 5c22ac 3a 20，所以5e22e30.又 bc，所以 b2c 2，所以 a2c 2c 2，所以 2e21.联立，得 e .35 22答案 (1) (2)13 35，22)规律方法 (1)求椭圆离心率的方法直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解列出含有 a，b，c
13、 的齐次方程 (或不等式) ，借助于 b2a 2c 2 消去 b，转化为含有 e 的方程 (或不等式)求解(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系【训练 3】 (2017盐城模拟)已知椭圆： 1(0b2)的左、右焦点分别x24 y2b2为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 BF2AF 2 的最大值为 5，则b 的值是_解析 由椭圆的方程可知 a2，由椭圆的定义可知，AF 2BF 2AB4a8，所以 AB8( AF2BF 2)3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
