1、1求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合 A 和 B 是非空数集，按照某一确定的对应关系 f，使得集合 A 中任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应。则称 f:为 A 到 B 的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系（f）,集合 A 的取值范围。由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围y|y=f(x),xA。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法” ；
2、一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1 ）明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),xA。（2）明白定义中集合 B 是包括值域，但是值域不一定为集合 B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1 已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见要是满足有意义的情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为 0；表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于 0（非负
3、数） 。表达式中出现指数时：当指数为 0 时，底数一定不能为 0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于 0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有 x，必须满足指数底数大于 0 且不等于 1.（01）表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于 0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于 0，底数要大于 0 且不等于 1.（）2()log(1)xf注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。2(形如：
4、 )2(xf2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法” ，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围；（2）在同一个题中 x 不是同一个 x；（3）只要对应关系 f 不变，括号的取值范围不变。（4）求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例 1：已知 f(x+1)的定义域为-1,1，求 f（2x-1）的定义域。解：f(x+1)的定义域为-1,1；（及其中 x 的取值范围是-1,1） ； （x+1 的取值范围就是括号的取值范围）02xf(x)的定
5、义域为0,2；（f 不变，括号的取值范围不变）f(2x-1)中 1 32xf(2x-1)的定义域为 3|2x3.复合函数定义域复合函数形如： ,理解复合函数就是可以看作由几个我们()yfg熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例 2： ()(2,3)(1)(2),fxxffx若 函 数 的 定 义 域 为求 g的 定 义 域 。分析：由题目可以看出 g(x)是由 y=x+1、y=x-2 和 y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出 f(x+1)和 f(x-2
6、)的定义域的交集即可。解：由 f(x)的定义域为（-2,3） ，则f(x+1)的定义域为（-3,2） ，f(x-2)的定义域为（0,4） ；，解得 0x23204x所以，g(x)的定义域为（0,2）.3（二）求定义域的典型题1.已知函数解析式（1）求下列函数的定义域 20111()4;(2)();(3);32xfxfxfx22 2(3)(4)();(5)log;(6).4xxff fx （2）求下列函数的定义域 212lg(2)1(1);();(3);(4)log6xxffffxx(3)与函数定义域有关的问题题若函数 的定义域为 R，求实数 m 的取值范224()(1)xfxm围。函数 的定义
7、域为 R，求 k 的取值范围。26ykx函数 的定义域为 R，求 m 的取值范围。()8f2.求抽象数定义域若函数 f(x)的定义域为（-2,6） ，求 的定义域。1()2fx若数 求函数 的定义域。()fx的 定 义 域 为 0,fg若数 求函数 的1f的 定 义 域 为 -1, 1()2)37xfx定义域。若函数 ，()fx的 定 义 域 为 0,()(),2gfafa求函数 g(x)的定义域。4若 ， ，令()log(1),log(1)aafxxx(0,1)a且F（x）=f(x)-g(x),求 F（x）的定义域。二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一
8、般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出 y 值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以 a0 为例） ，此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论 a；（2）a 不为 0 时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例 1：求 2()46fx在 1,5上 的 值 域 .解：配方： 2)f(x)的对称轴为 x=2 在1,5中间min()yf（端点 5 离 x=2 距离较远，
9、此时为最大值）ax()1f所以，f(x)的值域为2,11.3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量 x 的次数为 1，或是可以看作整体为 1 的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为 。dyabc例 2： 5()42xf求 的 值 域 .解：10()157()22(4)fxxx5由于分母不可能为 0，则意思就是函数值不可能取到 ，54即：函数 f(x)的值域为 .5|4y跟踪练习：跟踪练习：已知 在 x=2 处有最大值，2()(1)3(0,2)fxax求 a 的取值范围 . ,（2）利用 来求函数值域：适用于函数表达式为分式形
10、式，并且只20x出现 形式，此时由于为平方形式大多时候 x 可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法） 。例 3：求函数 的值域.231()xf解：由于 不等于 0，可将原式化为2x231yx即 （由于 ）2()y20只需 ,则有y2103x(3)y12)0y所以，函数值域 .,2y（3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量 x 又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域2x为 R 的情形，可以使用根的判别式法。例 4：求函数 的值域21xy6解：由于函数的定义域为 R，即 210x原式可化为 2y（由于 x 可以取到任意的实数
11、，那么也就说总有一个 x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于 0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以， 24y所以，函数值域为 1,跟踪练习：跟踪练习：求下列函数值域（1 ） （2） （3 ） yx21xy21yx2(4)36（5 ）若 的定义域为 R，值域为 ，求常数 m,n28log1mxny0,2的值（m=n=5）4.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例 5：求函数 的值域()21fx解：令 ，带入原函数解析式中得2,0ttt则2 215(1)()48y因为， t所以，函数的值域为 .5,8y跟踪练习：跟踪练习：求下列函数的域7（1） （2）2sin3cos1yx1yx（3） ， （令 t= ）isinco(4) 249,(=c(0,)yxx令
