1、马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理确定最值；3.枚举比较确定最值；4.估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。一、 从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目 1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 10 个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色
2、小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出 8 个球，它们的数字和是 39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的 8 个球全是红球，则数字之和为（48=）32，与实际的和 39 相差 7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（64=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在 72=31，因此可用 3 个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样 8 个球的数字之和正好等于 39。所以要使8 个球的数字之和为 39，其中最多可能有（8-3-1=）4 个是红球。题目 2.
3、 有 13 个不同正整数，它们的和是 100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有 5 个奇数，但和是奇数，100 是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有 7 个偶数。1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要 5 个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有 5 个偶数。题目 3. 一种小型天平称备有 1 克、3 克、5 克、7 克、9 克 5 种砝码。为了能称出 1 克到91 克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端
4、放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出 1 克到 91 克的任意一种整数克重量，要有 9 个 9 克、1 个 5 克、1 个 3 克、2 个 1 克，它们的和是 91，这样即可。需要 9+1+1+2=13 个。题目 4. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入 77，707 这样只含数字 7 和 0 的数，并且进行加法运算。为了显示出 222222，最少要按“7”键多少次？222222-70000*3=12222 按下了 3 个 7 12222-7000*1=5222 按下了 1 个 75222-700*7=322 按下了 7 个 7 322
5、-70*4=42 按下了 4 个 7 42-7*6=0 按下了 6个 7。 3+1+7+4+6=21 次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 5. 将 6，7，8，9，10 按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5 个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于 10，旁边添 6 和 7，这样积小一些。于是有两种添法：-题目 6. 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有
6、13 个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法 1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有 56 人，这就是说至少应有 56 个座位。说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。解法 2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人
7、数到以后各站（每站 1 人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此车开出时人数=（以前的站数+1）以后站数=站号（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：114， 213， 312， 411， 510，69， 78， 87， 96， 105，114， 123， 132， 141。由这些数，得知 78 和 87 是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是 56 人，所以它应有 56 个座位。说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 7.
8、 在如图 18-2 所示得 2*8 方格表中，第一行得 8 个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把 1、2、3、4、5、6、7、8 按适当得顺序分别填入第二行的 8 个方格内，使得每列两数的 8 个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？ 解：这 8 个差分别是 0，1，2，3，4，5，6，7，和为 28，分成两组，每组 14。8 和 7 必然填在 1，2 两个方格内。前两列的差是 7 和 5，第 3 个如果填 6，那么 7+5+3 超过 14，所以只能填 5，此时 3 个差为 7、5、2，和为 14，第 4 个格子只能填 4，填 6 就会有重复。数字6 只能
9、填在第 7 格，再凑一凑即可得出 87541362。三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目 8. 从 123456789101199100 中划去 100 个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。分析与解 将此题简化为从 12345678910 中划去 9 个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为 91，最小数为 10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从 12345678910 中划去 10 个数字剩下 9；从 111213484950
10、中划去 76 个数字剩下 4 个 9；再从 51525354555657585960 中划去 14 个数字剩下尽可能大的数是 785960，从而得到所求的最大数 999997859606199100。求最小值时，从 12345678910 中划去 9 个数字剩下 10，从 11121314484950 中划去 76 个数字剩下 4 个 0，再从 51525354555657585960 中划去 15 个数字剩下尽可能小的数 12340，从而得到所求最小数 10000012340616299100。题目 9. 将 1，2，3，49，50 任意分成 10 组，每组 5 个数。在每一组中，数值居中的
11、那个数称为“中位数”。求这 10 个中位数之和的最大值与最小值。解：1，2，3，49，50 4，5，6，47，48 28，29，30，31，323+6+30=165（最小值）1，2，48，49，50 3，4，45，46，47 19，20，21，22，2348+45+21=345（最大值）四、和一定问题例如，和为 10 的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知道和为 10 的自然数共有 5 对，每对自然数乘积后又得到 5 个不同的数，如下表：由此我们得到，当这两个自然数都取 5 时积有最大值 25。成立。也就是和一定时差最小乘积越大。题目 10. 有 3 条线段 a,b,c，线段 a 长 2
12、.12 米，线段 b 场 2.71 米，线段 c 长 3.53 米。如图 18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出 3 个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见 a+b 与 c 十分接近，所以的面积最大。题目 11. 如果将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出，那么每个的利润是 10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价 1 元时，其销售量就减少 10 个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利（50x-40
13、）（500-10x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60 为一定值，故当 10+X=50X 即 X=20 时，它们的积最大。此时，每个的销售价为 5020=70（元）题目 12. 用 3，4，5，6，7，8 六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？1910 1992+8=10 28=1637=10 37=214+6=10 46=245+510 55=25【分析与解】十位数字分别是 8、7、6，876,个位数字分别是 5，4，3，543，依据“接近原则”，大小搭配可得 837465，三个数最接近因而它们的乘积最大。综上数例，可以归纳出这样的
14、规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。五、积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。题目 13. 长方形的面积为 144 cm 2，
15、当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm 和 ycm，则有xy144。故当 x=y=12 时，x+y 有最小值，从而长方形周长 2（xy）也有最小值。题目 14. 农场计划挖一个面积为 432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有 3m 和 4m 的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为 xm 和 ym，则有xy432。占地总面积为 S=（x6）（y8）cm 2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我们知道 6y 8X=48432 为一定值，故当 6y=8X 时，S 最小，此时有 6y=8X=
16、144，故y=24，x=18。六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。题目 15. 在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目 16. 在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的
17、最大乘积是多少？解：把 10 个数都添上加号，它们的和是 55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的 2 倍。因为 55-3718，所以我们变成减数的这些数之和是 182=9。对于大于 2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9 最多可拆成三数之和 234=9，因此这些减数的最大乘积是 23424，添上加、减号的算式是10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。七、抓不等关系题目 17. 某校决定出版“作文集”，费用是 30 册以内为 80 元，超过 30 册的每册增加1.20 元。当印
18、刷多少册以上时，每册费用在 1.50 元以内？解：显然印刷的册数应该大于 30。设印刷了（30x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），答案:117+30= 147 以内。题目 18. 有 4 袋糖块，其中任意 3 袋的总和都超过 60 块。那么这 4 袋糖块的总和最少有多少块？解：要使其中任意 3 袋的总和都超过 60 块，那么至少也是 61，先在每袋中放 20 个糖块，但任意 3 袋中至少一个 21，否则就无法超过 60。要使任意 3 袋中至少一个 21，这 4 个袋子的糖块分别是 20，20，21，21。和为 20+20+21+21=82八、抓相等
19、关系题目 19. 10 位小学生的平均身高是 1.5 米。其中有一些低于 1.5 米的，他们的平均身高是1.2 米；另一些高于 1.5 米的平均身高是 1.7 米。那么最多有多少位同学的身高恰好是 1.5米？解:要最多有多少位同学的身高恰好是 1.5 米，就要使低于和高于 1.5 米的人越少，设高于和低于的人分别为 a,b。可得：1.2a+1.7b=1.5(a+b) 2b=3a 至少是 5 人 那么最多有10-5=5 位同学的身高恰好是 1.5 米。-题目 20. 4 个不同的真分数的分子都是 1，它们的分母只有 2 个奇数、2 个是偶数，而且 2个分母是奇数的分数之和与 2 个分母是偶数的分
20、数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶 偶/奇=（偶+偶)/偶 偶 奇*（偶+偶）=偶*偶*偶。因为偶*偶*偶是 8 的倍数所以偶+偶是 8 的倍数 若是 8，只能为 2 和 6 则 1/2+1/6=1/3+1/3 不符合题意，因为奇相等;若是 16，有 1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是 16。九、位值展开式题目 21. 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？解：设两位数位 ab（a 表示十位数字，b 表示个位数字）ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1a+
21、b 最大是 18，此时余数为 9当 a+b=17，若 a=9 余数为 13 若 b=9 余数为 4题目 22. 当 a+b=16，若 a=9 余数为 1 若 b=9 余数为 15 此时余数最大。由 3 个非零数字组成的三位数与这 3 个数字之和的商记为 K。如果 K 是整数，那么 K 的最大值是多少？解：设这个数为 abc（a 表示百位数字，b 表示十位数字，c 表示个位数字）那么 abc/（a+b+c）=K (100a+10b+c)/(a+b+c)=K 要使这个算式最大，就要让 a 尽可能大，b,c 尽可能的小。试一下：911/（9+1+1）=829，811/（8+1+1）=811，711/
22、（7+1+1）=79，所以 K 最大是 79。题目 23. 用 1，3，5，7，9 这 5 个数组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE，再用0，2，4，6，8 这 5 个数组成一个三位数 FGH 和一个两位数 IJ。求算式 ABCDEFGHIJ的计算结果的最大值。解：要使 ABC*DE-FGH*IJ 这个算式最大就要使 ABC*DE 最大，FGH*IJ 最小。那么前面最大是 751*93。后面最小是 468*20。那么算式的最小值是 751*93-468*20=60483十、“估计+构造”“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个
23、实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。题目 24. 把 1，2，3，12 填在左下图的 12 个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数 n，n 至少是多少？为什么？并请你设计一种填法，满足你的结论。解：因为 1+2312=78， 7821213，所以 n13。又考虑到与 12 相邻的数最小是 1 和 2，所以 n 至少是 14。右上图是一种满足要求的填法。十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点 A、B，把 A、B 用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等.
24、在这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段 AB 的长叫 A、B 两点间的距离。我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面 N 点放上食品，在长方体侧面 ABCD上 M 点放一只蚂蚁（如图 3），蚂蚁从侧面经过棱 AD 到 N 有无穷多种走法（如图 4），我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结 MN 则不经过棱 AD，与条件不符.为了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结 MN 交 AD 于 P.由公理，两点之间线段最短，可知蚂蚁从 M 点沿直线 MP 爬到 P 后，再由 P 点沿直线 PN 爬到 N 时走过的路程最短。题目 25. 如图
25、 11 某次划船比赛规定从 A 点出发，先到左岸然后到右岸然后再到 B 点，时间少者取胜.请你设计一条航线，使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。如图，找到 A 点关于左岸的轴对称点，B 点关于右岸的轴对称点，连结 AB，与左岸、右岸分别有交点 C、D，沿折线 ACDB 航行就是最短航线。十二、学写说理题题目 26. 23 个不同的自然数的和是 4845。问：这 23 个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。.17。解：设这 23 个彼此不同的自然数为a1，a2，a22，a23，并且它们的最大公约数是 d，则a1=db1，
26、a2=db2，a22=db22，a23=db23。依题意，有4845=a1+a2+a22+a23=d（b1+b2+b22+b23）。因为 b1，b2，b22，b23 也是彼此不等的自然数，所以b1+b2+b231+2+23=276。因为 4845=d（b1+b2+b22+b23）276d，所以又因为 4845=191715，因此 d 的最大值可能是 17。当 a1=17，a2=172，a3=173，a21=1721，a22=1722，a23=1732 时，得a1+a2+a22+a23=17（1+2+22）+1732=17253+1732=17285=4845。而（a1，a2，a22，a23）=
27、17。所以 d 的最大值等于 17。解题在于实践：题目 27. 设 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6是 1 到 9 中任意 6 个不同的正整数，并且a1a 2a 3a 4a 5a 6。试用这 6 个数分别组成 2 个三位数，使它们的乘积最大。分析与解：由于 a1，a6 具体大小不清楚，因此先取特殊数 1，2，3，4，5，6 这 6个不同的数考虑。要使 2 个三位数的乘积最大，必须使这 2 个数的百位数最大，应分别是6，5；而十位数次大，应分别为 4，3，个位数最小，应分别为 2，1。因为当 2 个数之和一定时，这 2 个数之差越小，它们的乘积越大，所以这 2 个数是631 和 54
28、2。题目 28. 8 个互不相同的正整数的总和是 56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是 44。问：剩下的数中，最小的数是多少？解：因为最大数与最小数的和是 5644=12，所以最大数不会超过 11。去掉最大和最小数后剩下的 6 个互不相同的自然数在 210 之间，且总和为 44，这 6 个数只能是4，6，7，8，9，10。题目 29. 采石场采出了 200 块花岗石料，其中有 120 块各重 7 吨，其余的每块各重 9 吨，每节火车车皮至多载重 40 吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？解：每节车皮所装石料不能超出 5 块，故车皮数不能少于 2005=40（节），而 4
29、0 节车皮可按如下办法分装石料：每节装运 3 块 7 吨的和两块 9 吨的石料，故知 40 节可以满足要求。题目 30. 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开 4 个进水管时需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在需要在 2 小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管 1 小时注水量为 a，排水管 1 小时排水量为
30、b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）5=（2a-b）15，化简，得：4a-b=6a-3b，即 a=b.这就是说，每个进水管 1 小时的注水量等于排水管 1 小时的排水量.再设 2 小时注满水池需要打开 x 个进水管，根据水池的容量列方程，得（xa-a）2（2a-a）15，化简，得 2ax-2a=15a，即 2xa=17a.（a0）所以 x=8.5因此至少要打开 9 个进水管，才能在 2 小时内将水池注满.注意：x=8.5，这里若开 8个水管达不到 2 小时内将水池注满的要求；开 8.5 个水管不切实际.因此至少开 9 个进水管才行.题目 31. 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个减法算式的差最大是多少？解：要想差最大必须考虑被减数取最大，那么先考虑百位为 9，同样考虑减数最小，百位为 1，再通过试算得出 936-152=784，此时差为最大既 784。
