1、第 1 页 共 31 页规律探索一. 选择题1.（2015 湖南邵阳第 10 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转 2015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A 2015 B 3019.5 C 3018 D3024考点： 旋转的性质；弧长的计算.专题： 规律型分析： 首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算即可解答： 解：转动一次 A 的路线长是： ，转动第二次的路线长是： ，转动第三次的路线
2、长是： ，转动第四次的路线长是：0，转动五次 A 的路线长是： ，以此类推，每四次循环，故顶点 A 转动四次经过的路线长为： +2=6，20154=503 余 3顶点 A 转动四次经过的路线长为：6504=3024故选：D点评： 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键2.（2015 湖北荆州第 10 题 3 分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1） ， （3，5，7） ，第 2 页 共 31 页（9，11，13，15，17） ， （19，21，23，25，27，29，31） ，现有等式 Am=（i ，j）表示正奇数 m 是第i 组第 j 个数（从左往
3、右数） ，如 A7=（2，3） ，则 A2015=（ ）A （31，50） B （32，47） C （33，46） D （34，42）考点： 规律型：数字的变化类分析： 先计算出 2015 是第 1008 个数，然后判断第 1008 个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答： 解：2015 是第 =1008 个数，设 2015 在第 n 组，则 1+3+5+7+（2n1）1008，即 1008，解得：n ，当 n=31 时，1+3+5+7+61=961；当 n=32 时，1+3+5+7+63=1024；故第 1008 个数在第 32 组，第 1024 个数为：21024 1=2047，第
4、 32 组的第一个数为：29621=1923，则 2015 是（ +1）=47 个数故 A2015=（32，47） 故选 B点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题3.（2015 湖北鄂州第 10 题 3 分）在平面直角坐标系中，正方形 A1B1C1D1 、D 1E1E2B2 、A 2B2C2D2 、D 2E3E4B3 、A 3B3C3D3 按如图所示的方式放置，其中点 B1 在 y 轴上，点 C1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在 x 轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为 1， B1C1O=60，B 1C1B2C2B3C3则正方形 A20
5、15B2015C2015D2015 的边长是（ ）第 3 页 共 31 页A B C D【答案】D.第 4 页 共 31 页考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形4. （2015山东威海，第 12 题 3 分）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切，正六边形 A3B3C3D3E3F3 的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2 的各边相切， 按这样的规律进行下去，A 10B10C10D10E10F10 的边长为（ ）A B C D考点： 正多边形和圆.专题： 规律型分析： 连结 OE1
6、，OD 1，OD 2，如图，根据正六边形的性质得E 1OD1=60，则E 1OD1 为等边三角形，再根据切线的性质得 OD2E1D1，于是可得 OD2= E1D1= 2，利用正六边形的边长等于它的半径得到第 5 页 共 31 页正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长= 2，同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3 的边长=（ ） 22，依此规律可得正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长=（ ） 92，然后化简即可解答： 解：连结 OE1，OD 1，OD 2，如图，六边形 A1B1C1D1E1F1 为正六边形，E1OD1=60，E1OD1 为等边三角形，正六边形 A2B2C
7、2D2E2F2 的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切，OD2E1D1，OD2= E1D1= 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长= 2，同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3 的边长=（ ） 22，则正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长=（ ） 92= 故选 D点评： 本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆记住正六边形的边长等于它的半径5 （2015 山东日照 ，第 11 题 3 分）观察下列各式及其展开式：（a+b） 2
8、=a2+2ab+b2（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你猜想（a+b） 10 的展开式第三项的系数是（ ）第 6 页 共 31 页A 36 B 45 C 55 D 66考点： 完全平方公式.专题： 规律型分析： 归纳总结得到展开式中第三项系数即可解答： 解：解：（a+b） 2=a22+2ab+b2；（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+
9、10a2b3+5ab4+b5；（a+b） 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b） 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第 8 个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第 9 个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第 10 个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10 的展开式第三项的系数为 45故选 B点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （20
10、15山东临沂,第 11 题 3 分）观察下列关于 x 的单项式，探究其规律：x，3x 2，5x 3，7 x4，9x 5，11x 6，.按照上述规律，第 2015 个单项式是（ ）(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n1） ，而后面因式 x 的指数是连续自然数，因此关于 x 的单项式是 ，所以第 2015 个单项式的系数为 220151=4029，因此这个单项式为 .故选 C考点：探索规律7(2015河南，第 8 题 3 分) 如图所示，
11、在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆第 7 页 共 31 页O1，O 2，O 3， 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单2位长度，则第 2015 秒时，点 P 的坐标是（ ）A.（2014,0） B.（2015，1） C. （2015,1） D. （2016,0）B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.半圆的半径 r=1，半圆长度 =， 第 2015 秒点 P 运动的路径长为： 2015， 2 2015=10071，点 P 位于第 1008 个半圆的中点上，且这个半圆在 x 轴的下方.2此时点 P 的横坐标为：100821=2
12、015，纵坐标为1， 点 P(2015，1) .图”中的“” 的个数，若第 n 个“龟图”中有 245 个“”，则 n=（ ）A 14 B 15 C 16 D 17考点： 规律型：图形的变化类.分析： 分析数据可得：第 1 个图形中小圆的个数为 5；第 2 个图形中小圆的个数为 7；第 3 个图形中小圆的个数为 11；第 4 个图形中小圆的个数为 17；则知第 n 个图形中小圆的个数为 n（n1）+5据此可以再求得“龟图”中有 245 个“”是 n 的值PO第 8 题O1 xyO2O3第 8 页 共 31 页解答： 解：第一个图形有：5 个，第二个图形有：21+5=7 个，第三个图形有：32+
13、5=11 个，第四个图形有：43+5=17 个，由此可得第 n 个图形有：n（ n1）+5个，则可得方程：n（n1）+5=245解得：n 1=16，n 2=15（舍去） 故选：C点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形8. （2015四川省宜宾市，第 7 题，3 分）如图，以点 O 为圆心的 20 个同心圆，它们的半径从小到大依次是 1、2、3、4、20，阴影部分是由第 l 个圆和第 2 个圆，第 3 个圆和第 4 个圆，第 l9 个圆和第 20 个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ）A.231
14、 B .210 C .190 D.1719. （ 2015浙江宁波，第 10 题 4 分）如图，将 ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上第 9 页 共 31 页的 A1 处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 1h；还原纸片后，再将ADE 沿着过 AD 中点 D1的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 2h；按上述方法不断操作下去，经过第 2015 次操作后得到的折痕 D2014E2014 到 BC 的距离记为 2015，若 =1，则2015h的值为【 】A. 2015 B
15、. 2014 C. 2015D. 2014【答案】D.【考点】探索规律题（图形的变化类） ；折叠对称的性质；三角形中位线定理. 【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是ABC 的中位线，D 1E1 是A D1E1 的中位线，D 2E2 是A2D2E1 的中位线， 21h，3221，4331h，2015220142014h.故选 D.二.填空题1 （2015 甘肃武威 ,第 18 题 3 分）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，依此类推，那么第 9 个三角形数是 45 第 10 页 共 3
16、1 页，2016 是第 63 个三角形数考点： 规律型：数字的变化类分析： 根据所给的数据发现：第 n 个三角形数是 1+2+3+n，由此代入分别求得答案即可解答： 解：第 9 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63故答案为：45，63点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题2. （2015浙江衢州,第 15 题 4 分）已知，正六边形 在直角坐标系的位置如图所示，点 在原点，把正六边形 沿 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，经过 2015 次翻转之后，点 的坐标是 .【答案】 【考点】探索规律题（图形的变化类循环问题） ；正六边形的性质；含 30 度角 角三角形的性质 【分析】如答图，根据翻转的性质，每 6 次为一个循环组依次循环. ， 经过 2015 次翻转之后，为第 336 个循环组的第 5 步. ， 在 中， . .
