1、- 1 -一 椭圆知识要点1. 椭圆定义：平面内与两个定点 21F、 的距离之和为常数 |)|2(2Fa的动点 P的轨迹叫椭圆,其中两个定点 21、 叫椭圆的焦点.当 21aPF时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当 21F时, 的轨迹不存在; 当 21时, 的轨迹为 以 21F、 为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(2bayx )0(12baxy参数关系 22c焦点 )0,(,c ),0(c焦距范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0()(0, )0,()0(,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称性质离心率 )1,(ace3.点 ),(0yxP与椭圆)0(12bayx的
2、位置关系:当12ba时, 点 在椭圆外; 当 2yx时,点 P在椭圆内 ; 当12byax时, 点 P在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交 0;直线与椭圆相切 0;直线与椭圆相离 0例题精讲例 1 已知 21F、 为椭圆1952yx的两个焦点，过 1F的直线交椭圆于 A、B 两点若2BA，则 A=_。- 2 -解析 2ABF的周长为 204a， AB=8例 2 椭圆1myx的离心率为 ，则 m 解析 当焦点在 x轴上时，3214；当焦点在 y轴上时，6m，综上 316m或 3例 3 在 ABC 中， 3,2|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 e 解析
3、sin|21SABC，3|， 2cos|2|2 ACBAB13| CAe例 4 已知实数 yx,满足 24y,求 xy2的最大值与最小值【解题思路】 把 x2看作 的函数解析 由14yx得22,0212,3)1(222 xxyx当 1时, 2取得最小值 ,当 时, xy2取得最大值 6例 5 椭圆196yx上的点到直线 l: 09yx的距离的最小值为 _【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数- 3 -解析 在椭圆上任取一点 P,设 P( sin3,co4). 那么点 P 到直线 l 的距离为：|9)i(5|21|sin3co4|2 .2例 6 已知椭圆 C的中心为坐标原点 O,一个
4、长轴端点为 0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l与 y 轴交于点 P（0，m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且PBA3（1 ）求椭圆方程；（2 ）求 m 的取值范围【解题思路】通过 PBA3，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于 m 的不等式解析 （ 1）由题意可知椭圆 C为焦点在 y轴上的椭圆，可设2:1(0)yxCab由条件知 a且 bc，又有 22abc，解得 1,2abc故椭圆 C的离心率为 2e，其标准方程为：2xy（2 ）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1 ，y1） ，B（x2，y2）Error! 得（ k2 2）x2 2
5、kmx（m21）0（2km）2 4（k22） （ m21）4（k22m2 2）0 （*）x1x2 ， x1x2 2kmk2 2 m2 1k2 2 3 x1 3x2 Error!AP PB消去 x2，得 3（x1 x2）24x1x2 0，3 （ ）24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m2k220 m2 时，上式不成立；m2 时，k2 ，14 14 2 2m24m2 1因 3 k0 k2 0，12m22 成立，所以（ *）成立即所求 m 的取值范围为（1， ）（ ，1 ） 12 12基础巩固1 已知 ABC 的顶点 B、 C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点
6、，且椭圆的另x23外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是( )A2 B6 C4 D123 32 椭圆 1 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴x212 y23上，那么点 M 的纵坐标是( )A B C D34 32 22 343 设 P 是椭圆 1 上一点， M、 N 分别是两圆：( x4) 2 y21 和( x4)x225 y292 y21 上的点，则| PM| PN|的最小值、最大值分别为( )A9,12 B8,11 C8,12 D10,124过椭圆 1( ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， F2为右焦点，若x2a2 y2b
7、2 F1PF260，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22 33 12 135条件 p：动点 M 到两定点距离的和等于定长，条件 q：动点 M 的轨迹是椭圆，条件p 是条件 q 的( )A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件6椭圆 1( ab0)的两顶点为 A(a,0)， B(0， b)，且左焦点为 F， FAB 是以x2a2 y2b2角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为( )A. B. C. D.3 12 5 12 1 54 3 147以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A内切 B相交 C相离
8、D无法确定8 椭圆 y21 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 M 在椭圆上， 0，则 Mx24 MF1 MF2 到 y 轴的距离为( )A. B. C. D.233 263 33 39已知 M 是椭圆 1( ab0)上一点，左、右焦点为 F1， F2，点 P 是 MF1F2的x2a2 y2b2- 5 -内心，连接 MP 并延长交 F1F2于 N，则 的值为( )|MP|PN|A. B. C. D.aa2 b2 ba2 b2 a2 b2b a2 b2a10已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆上一点到椭32圆的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_1
9、1 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于_12已知 F1、 F2是椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点， P 为椭圆 C 上一点，x2a2 y2b2且 .若 PF1F2的面积为 9，则 b_.PF1 PF2 13 已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直x2a2 y2b2 32线与椭圆 C 相交于 A、 B 两点若 3 ，则 k_.AF FB 14已知点 A， B 分别是椭圆 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点x236 y220P 在椭圆上，且位
10、于 x 轴上方， PA PF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于| MB|，求椭圆上的点到点 M的距离的最小值15已知平面内曲线 C 上的动点到定点( ，0)和定直线 x2 的比等于 .2 222(1)求该曲线 C 的方程；(2)设动点 P 满足 2 ，其中 M， N 是曲线 C 上的点直线 OM 与 ON 的斜率之积OP OM ON 为 .问：是否存在两个定点 F1、 F2，使得| PF1| PF2|为定值？若存在，求 F1、 F2的坐12标；若不存在，说明理由- 6 -16已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e ，过椭
11、圆的右焦点且垂直于22长轴的弦长为 .2(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线 l 与椭圆相交于 P， Q 两点， O 为原点，且 .试探究点 O 到直线 l 的OP OQ 距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由答案1C 解析 根据椭圆定义， ABC 的周长等于椭圆长轴长的 2 倍，即 4 .32A 解析 不妨设 F1(3,0)，设 P(x0， y0)，则3 x00，故 x03，代入椭圆方程得 y0 ，故点 M 的纵坐标是 .32 343C 解析 由题意得最大值 2a2、最小值 2a2， a5，故最大值是 12、最小值是 8.4B 解析 因为 P ，再由 F1PF260有 2 a
12、，从而可得 e ( c， b2a) 3b2a ca.335B 解析 设两定点距离 2c，定长为 2a.当 2a2c 时，为椭圆；当 2a2 c 时，为线段；当 2ab0)，根据椭圆定义 2a12，即x236 y29 x2a2 y2b2a6，又 ，得 c3 ，故 b2 a2 c236279，故所求椭圆方程为 1.ca 32 3 x236 y2911. 1 解析 如图所示，设 A， B 是椭圆的两个焦点， P 是圆与椭圆的一个交点，3则由正六边形的性质， PAB 是一个直角三角形，且 BAP30，所以 AP ABcos30c， BP c，根据椭圆定义 AP BP2 a，故 c c2 a，所以 e
13、1.3 3ca 23 1 3123 解析 方法 1.设椭圆的焦点坐标为( c,0)，根据椭圆定义和 PF1F2是一个面积等于 9 的直角三角形，有Error!第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c2364 a2，即 a2 c29，即 b29，即 b3.方法 2.利用本讲【问题思考】问题 4 的结论， b2tan 9，解得 b3.90213. 解析 根据已知 ，可得 a2 c2，则 b2 c2，故椭圆方程为2ca 32 43 13 1，即 3x212 y24 c20.设直线的方程为 x my c，代入椭圆方程得(3 m212)3x24c2 3y2c2y26 mcy c20.设 A(x1， y
14、1)， B(x2， y2)，则根据 3 ，得( c x1， y1)AF FB 3( x2 c， y2)，由此得 y13 y2，根据韦达定理- 8 -y1 y2 ， y1y2 ，把 y13 y2代入得， y2 ，3 y 2cmm2 4 c23 m2 4 cmm2 4 2，故 9m2 m24，故 m2 ，从而 k22， k .又 k0，故 k .c23 m2 4 12 2 214解答 (1)由已知可得点 A(6,0)， F(4,0)，设点 P(x， y)，则 ( x6， y)， ( x4， y)，AP FP 由已知可得Error!则 2x29 x180，解得 x 或6，由于 y0，32故 x ，于
15、是 y ，32 532点 P 的坐标是 .(32， 532)(2)由(1)得直线 AP 的方程是 x y60，设点 M(m,0)，3则 M 到直线 AP 的距离是 ，于是 6 m，|m 6|2 |m 6|2又6 m6，解得 m2.椭圆上的点( x， y)到点 M 的距离 d 有d2( x2) 2 y2 x24 x420 x2 215，由于6 x6，当 x 时，59 49(x 92) 92d 取得最小值 .1515解答 (1)设曲线 C 上动点的坐标为( x， y)，根据已知得 ，化简整理这个方程得 1，即为曲线 C 的方程 x 2 2 y2|x 22| 22 x24 y22(2)设 P(x，
16、y)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 2 得OP OM ON (x， y)( x1， y1)2( x2， y2)，即 x x12 x2， y y12 y2，因为点 M， N 在椭圆 1 上，x24 y22所以 x 2 y 4， x 2 y 4，21 21 2 2故 x22 y2( x 4 x 4 x1x2)2( y 4 y 4 y1y2)21 2 21 2( x 2 y )4( x 2 y )4( x1x22 y1y2)21 21 2 2204( x1x22 y1y2)设 kOM， kON分别为直线 OM， ON 的斜率，由题意知，kOMkON ，因此 x1x22 y1y20
17、，y1y2x1x2 12所以 x22 y220，所以 P 点是椭圆 1 上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1、 F2，x2 25 2 y2 10 2则由椭圆的定义，| PF1| PF2|为定值，又因为 c ，因此两焦 25 2 10 2 10点的坐标分别为 F1( ，0) 、 F2( ，0)10 10【难点突破】- 9 -16解答 (1)设椭圆方程为 1( ab0)，因为 e ，所以 ，据题意x2a2 y2b2 22 ca 22在椭圆上，则 1，于是 1，解得 b1，因为(c，22) c2a2 12b2 12 12b2a c， a2 c2 b21，则 c1， a ，2 2故椭圆的方程为 y21
18、.x22(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx m，点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由Error! 得(2 k21) x24 kmx2 m220，所以 x1 x2 ， x1x2 ，4km2k2 1 2m2 22k2 1于是 y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 k2 km m2 .2m2 22k2 1 4km2k2 1 m2 2k22k2 1因为 ，所以 x1x2 y1y2 0，即OP OQ 2m2 22k2 1 m2 2k22k2 1 3m2 2k2 22k2 13m22 k220，所以 m2 .2k2 23设原
19、点 O 到直线 l 的距离为 d，则 d .|m|k2 1 m2k2 1 2k2 23k2 1 63当直线 l 的斜率不存在时，因为 ，根据椭圆的对称性，不妨设直线 OP， OQ 的方OP OQ 程分别为 y x， y x 可得 P ， Q 或者 P ， Q .此(63， 63) ( 63， 63) ( 63， 63) ( 63， 63)时，原点 O 到直线 l 的距离仍为 .63综上分析，点 O 到直线 l 的距离为定值 .63- 10 -二 双曲线知识要点1. 双曲线的定义：当 2121| FaPF时, P的轨迹为双曲线; 当 | 时, 的轨迹不存在; 当 2121| 时, 的轨迹为以 2
20、1F、 为端点的两条射线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程 )0,(2bayx )0,(12baxy焦点 ),0(c， ),0(c焦距范围 Ryx,| Rxy,|顶点 )0(a )0(a对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 1,ce性质渐近线 abxbay与双曲线12yx共渐近线的双曲线系方程为：)0(2ax与双曲线 2ba共轭的双曲线为21yb等轴双曲线 yx的渐近线方程为 x ，离心率为 2e.； 例题精讲例 1：已知 12(5,0)(,F，一曲线上的动点 P到 21,F距离之差为 6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足 21Fa，二要注意是一支还是两支0621PF的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(1692xyx
