1、圆锥曲线解题方法和技巧圆锥曲线是高考的必考题型,很多学生认为它难,那是因为计算量大,尽管如此,但圆锥曲线这类题型也是有套路可循的。首先,做圆锥曲线要有相应的知识储备:1.直线方程:(1)五种形式:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容:倾斜角与斜率 k=tan 点到直线距离公式2ACByxd(3)弦长 或2121221 )(xxkxkAB 212yk(4)两条直线的位置关系:垂直 平行21121bk且2.圆锥曲线方程及性质标准方程 焦点定义 焦点在 x 轴 焦点在 y 轴 x 轴 y 轴 离心率 通径椭圆caPF22112by12bxa( -c,0)(c,0)(0,
2、-c)(0,c)1,0ace2b双曲线212ax2( -c,0)(c,0)(0,-c)(0,c),2抛物线到一个定点的距离与到定直线的距离相等的轨迹pxy2py2开口向右( )0,2开口向左( ),-开口向上( )2p,开口向下( ), e=1 2p掌握了以上的基础知识后,还要有相应的方法储备,也就是所谓的套路。读题过后,了解题目考的是哪一类问题,然后再找到相应的方法做题即可。下面就是圆锥曲线常用的套路:1.点差法(中点弦问题)设 A ,B , M 为椭圆 的弦 AB 的中点,则有1,yx2, 0,yx12byax, ,两式相减得:121byax12byax 211)(axx211)(byy0
3、2ykAB例:过椭圆 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所在的直线4162x方程。解:设直线与椭圆的两个交点为 A ,B , M(2,1)为弦 AB 的中点1,yx2,2.联立消元法(直线与圆锥曲线的位置关系)解题步骤: 设直线的方程; 与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方 1 2程; 使用判式 ,以及韦达定理,代入弦长公式; 若有两个字母未知数,则要找到它 3 0 4们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点 A、B、 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y=kx+b ,就意味着 k 存在。例
4、:如图, 为双曲线 的右焦点, 为双曲线 右支上一点,且位F2:1(0,)xyCabPC于 轴上方, 为左准线上一点, 为坐标原点。已知四边形 为平行四边形,xMOOFM。则当 时,经过焦点 且平行于 的直线交双曲线于 两点,若POFAB、,求此时的双曲线方程。12AByM PO F xM/解:当 时,由 解得120e2e从而 ,ca3bca由此得双曲线得方程是 213xy设双曲线左准线与 x 轴的交点为 N,P 点的坐标为( ) ,则0,xy,2|aONc22215|()aMNc由于 P 在双曲线的右支上,且位于 x 轴上方,因而0(,)xy,1 3|2aOFc015|2yMNa所以直线 OP 的斜率为1532ka设过焦点 F 且平行于 OP 的直线与双曲线的交点为 A 、B ,则1(,)xy2(,)直线 AB 的斜线为 ,直线 AB 的方程为153k15(2)3yxa将其代入双曲线方程整理得 22409xa,12521294xa2211|()()()()AByxkx 221kx2259413aa由 得 ,于是,所求双曲线得方程为|1AB 213yx