1、1直线与圆锥曲线的位置关系一知识网络结构: 繁 琐 )利 用 两 点 间 距 离 公 式 ( 易 )利 用 一 般 弦 长 公 式 ( 容弦 长 问 题直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 系 )直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关代 数 角 度 ( 适 用 于 所 有 位 置 关 系主 要 适 用 于 直 线 与 圆 的几 何 角 度关 系直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置直 线 与 圆 锥 曲 线 )(.12.直线与圆锥曲线的位置关系:.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有
2、一个交点。.从代数角度看:设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 。02cbxa. 若 =0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合;a当圆锥曲线是抛物线时,直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。.若 ,设 。 . 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。0acb420b. 时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。c. 时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。0二常考题型解读:题型一:直线与椭圆的位置关系:例 1.椭圆 上的点到直线 的最大距离是( )1462yx2yxA.3 B. C. D. 10例 2.如果椭圆 的弦被点 平分,则这条弦所在的直线方程是( )19362yx)
3、2,4(A. B. C. D.02y00123yx082yx题型二:直线与双曲线的位置关系:例 3.已知直线 与双曲线 =4。1:kxyL2:yxC若直线 与双曲线 无公共点,求 k 的范围;若直线 与双曲线 有两个公共点,求 k 的范围;LC若直线 与双曲线 有一个公共点,求 k 的范围;若直线 与双曲线 的右支有两个公共点,求 k的范围;若直线 与双曲线 的两支各有一个公共点,求 k 的范围。L2题型三:直线与抛物线的位置关系:例 4.在抛物线 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与 P 到点 的距离之和最小。xy2 )2,3(A题型四:弦长问题:直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化
4、解这个难点的方法是:设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入。即当直线 与圆锥曲线交于点 , 时,则 =k斜 率 为 1y,xA2,BAB=2k121x2k21214xx= =221y22121yy可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和,两根之积的代数式,然后再进行整体带入求解。例 5.过双曲线 的右焦点 ,倾斜角为 的直线交双曲线于 A、B 两点,求 。1632yx2F033题型五:中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法:.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点斜式得出弦的方程;.设
5、弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程,用根与系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率 k,然后写出弦的方程;.设弦的两个端点分别为 ,则这两点坐标分别满足曲线方程,又 为21,yx 2,11yx弦的中点,从而得到四个方程,由这四个方程可以解出两个端点,从而求出弦的方程。例 6.已知双曲线方程 =2。求以 A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程;2yx1,过点 能否作直线 L,使 L 与双曲线交于 , 两点,且 , 两点的中点为 ?如果存在,1, Q212Q1,求出直线 L 的方程;如果不存在,说明理由。题型六:圆锥曲线上的点到直线的距离问题:例 7
6、.在抛物线 上求一点,使它到直线 L: 的距离最短,并求这个最短距离。xy642 0463yx4练 习 题1.(09 上海)过点 作倾斜角为 的直线,与抛物线 交于 两点,则 = )0,1(A42yxMN、。写出所涉及到的公式:2.(09 海南)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 为 的中点,则抛物线 C 的方程为 。2,PAB3.(08 宁夏海南)过椭圆 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标2154xy原点,则OAB 的面积为 4.(11 全国)已知直线 L 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的
7、对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点,|12ABP 为 C 的准线上一点,则 的面积为( )ABPA18 B24 C 36 D 485.(09 山东)设斜率为 2 的直线 过抛物线 的焦点 F,且和 轴交于点 A,若OAF(O 为坐l2(0)yaxy标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( )A. B. C. D. 24yx28yx2428yx6.(09 山东)设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的离心12ba2率为( ).A. B. 5 C. D. 45257.(10 全国)设 , 分别是椭圆 E: + =1(0b1)的左、右焦点,过 的直线 L 与 E 相交1F2 x2yb1F于 A、B 两点,且 , , 成等差数列。求 若直线 L 的斜率为 1,求 b 的值。AB2FAB8.(11 江西)已知过抛物线 的焦点,斜率为 的直线交抛物线于0pxy22,Axy( )两点,且 求该抛物线的方程; 为坐标原点, 为抛物线上一点,2,xy12x9OC若 ,求 的值OBAC