1、1第一部分 函数图象中点的存在性问题11 因动点产生的相似三角形问题 12 因动点产生的等腰三角形问题 1 3 因动点产生的直角三角形问题 14 因动点产生的平行四边形问题15 因动点产生的面积问题16 因动点产生的相切问题17 因动点产生的线段和差问题第二部分 图形运动中的函数关系问题21 由比例线段产生的函数关系问题第三部分 图形运动中的计算说理问题31 代数计算及通过代数计算进行说理问题32 几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分 图形的平移、翻折与旋转41 图形的平移42 图形的翻折43 图形的旋转44 三角形45 四边形46 圆47 函数的图象及性质11 因动点产生的相似三角形问
2、题课前导学相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD ，探求ABC 与DEF 相似，只要把夹A 和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程ABDECF应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三
3、角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、B 两点间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减图 1 图 1 图 2例 1 湖南省衡阳市中考第 28题二次函数 yax 2bxc（a 0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、
4、B (1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0,3m)（m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ；（2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积2为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？动感体验 请打开几何画板文件名 “14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P运动到 AC 的中点的正下方时， APC 的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验
5、到，ACD 和ADC 都可以成为直角思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP，APC 可以割补为：AOP 与COP 的和，再减去AOC3讨论ACD 与OBC 相似，先确定ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形 ACD 存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，设 ya(x3)(x1) 代入点 C(0,3m)，得3m3a解得 am所以该二次函数的解析式为 ym (x3)( x1) mx 22mx3m （2）如图 3，连结 OP当 m2 时，C (0,6)，y2x 24x6，那么 P(x, 2x24x6)由于 S
6、AOP (2x24x 6) 3x 26x9， S1()POACOP 3x，S AOC 9，所以 SS APC S AOP S COP S ()PCAOC3x 29 x 274所以当 时，S 取得最大值，最大值为 274图 3 图 4 图 5 图6（3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F由 ym(x3)( x1)m(x 1) 24m ，得 D(1,4m )在 RtOBC 中，OBOC13m如果ADC 与OBC 相似，那么ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图 4，当ACD90时， 所以 解得 m1OACE3此时 ， 所以 所以
7、CDAOBC3CAODEBDB如图 5，当ADC90时， 所以 解得 F42123此时 ，而 因此DCA 与OBC 不相似2DAFCEm32OCmB综上所述，当 m1 时，CDA OBC考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H由直线 AC：y 2x6，可得 H(x,2x 6) 又因为 P(x, 2x24x6)，所以HP2x 26x因为PAH 与PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、C 两点间的水平距离3，所以SS APC S APH S CPH (2x 26x) 3237()例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21题如图 1，在直角梯
8、形 ABCD 中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 APx21cnjy （1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；图 1（3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S 2，若 SS 1S 2，求 S 的最小值. 动感体验 请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段观察 S 随点 P 运动的图象，可
9、以看到，S 有最小值，此时点 P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已思路点拨 1第（2）题先确定PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以 AP为自变量，求 S 的函数关系式图文解析（1）如图 2，作 CHAB 于 H，那么 ADCH在 Rt BCH 中， B60，BC 4，所以 BH2，CH 所以 AD 323（2）因为APD 是直角三角形，如果APD 与PCB 相似，那么PCB 一定是直角三角形如图 3，当
10、CPB 90时，AP1028所以 ，而 此时APD 与PCB 不相似APD8PC3图 2 图 3 图 4如图 4，当BCP90时，BP2BC 8所以 AP2所以 所以APD60此时APDCBPAPD3综上所述，当 x2 时，APDCBP （3）如图 5，设ADP 的外接圆的圆心为G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与 BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP2m作 OMBP 于4M，那么 BMPM5m在 RtBEF 中，BE2，B60，所以 BF4在 RtOFM 中，FMBFBM 4 (5m )m1，OFM
11、 30，所以 OM 3(1)m所以 OB2BM 2OM 2 在 RtADP 中，22(3DP2AD 2AP 2124m 2所以 GP23m 2于是 SS 1S 2(GP 2OB 2) 所以当 时，S 取得最小值，13(5)()(785)67最小值为 7图 5 图 6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设 AP2m 呢？这是因为线段 ABAP PMBMAP2BM10这样 BM5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求 S 的最小值问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上，S 关于 m 的解析式是什么？如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是 FMBM B
12、F(5m) 41m此时 OB2BM 2OM 2 这并不影响 S 关于 m 的解析式221(5)()3例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题如图 1，已知直线 yx 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线yx 2bx c 经过 A、B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的2速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式；（2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点
13、 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形与以 O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ 与BOP 有一次机会相似思路点拨1在APQ 中，A 45，夹A 的两条边 AP、AQ 都可以用 t 表示，分两
14、种情况讨论直角三角形 APQ2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标，进而表示点 E、F 的坐标，根据 PEQF 列方程就好了3MBQ 与BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由 yx3，得 A(3, 0)，B(0, 3) 5将 A(3, 0)、B (0, 3)分别代入 yx 2bxc ，得 解得930,.bc2,3.bc所以抛物线的解析式为 yx 22x 3（2）在APQ 中，PAQ 45，AP 3t，AQ t分两种情况讨论直角三角形2APQ：当PQA90时，AP AQ解方程 3t 2t，得 t1（如图 2） 当QPA90时，AQ AP解方程 t (3t)
15、，得 t1.5（如图 3） 2图 2 图 3 图 4 图 5（3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形所以 EPFQ 所以 yEy P yFy Q因为 xPt，x Q3 t，所以yE3t，y Qt，y F(3t) 22(3t)3t 24t 因为 yEy Py Fy Q，解方程3t(t 24t)t，得 t1，或 t3（舍去） 所以点 F 的坐标为(2, 3) （4）由 yx 22x 3 (x1) 24，得 M(1, 4)由A(3, 0) 、B (0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等， AB3 2由B(0, 3) 、M(1, 4)，可知B、
16、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 所以MBQBOP90因此MBQ与BOP相似存在两种可能：当 时， 解得 （如图5） OQP23t94t当 时， 整理，得t 23t 30此方程无实根B考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由 P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照PE 方向，将点 Q 向上平移，得 F(3t , 3)再将 F(3t, 3)代入 yx 22x3，得t1，或 t312 因动点产生的等腰三角形问题课前导学 我们先回顾两个画图问题：1已知线段 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？2已知线段 AB6 厘米，以
17、线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC ，BABC ，CACB 三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC 的A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图 1，如果 AB
18、AC，直接列方程；如图 2，如果6BABC，那么 ；如图 3，如果 CACB ，那么 1cos2ACB1cos2ABC代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图 1 图 2 图 3 图 1例 9 2014 年长沙市中考第 26题如图 1，抛物线 yax 2bx c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2)(,)6a（1）求 a、b、c 的值；
19、（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N (x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标动感体验 请打开几何画板文件名“14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长 MN4 是定值2等腰三角形 AMN 存在五种情况，点 P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和 NANM 时，点 P 的纵坐标是相等的图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 yax 2所以
20、b0，c0将 代入 yax 2，得 解得 （舍去了负值） 1(,)6a216a14（2）抛物线的解析式为 ，设点 P 的坐标为 4x2(,)x已知 A(0, 2)，所以 22411()6PA而圆心 P 到 x 轴的距离为 ，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离4x所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交（3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN在 Rt PMH 中， ， ，所以 MH242416MA2241()6x所以 MH2因此 MN4，为定值等腰 AMN 存在三种情况：如图 3，当AMAN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 07图
21、2 图 3 图 4 图 5如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中，OA2，AM4，所以 OM2 3此时 xOH 2 所以点 P 的纵坐标3为 2 21()(1)如图 5，当 NANM 时，根据对称性，点 P 的纵坐标为也为 423如图 6，当 NANM4 时，在 RtAON 中，OA 2， AN4，所以 ON2 此时 xOH 2 所以点 P 的纵坐标为 31()(1)43x如图 7，当 MNMA4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 3图 6 图 7考点伸展如果点 P 在抛物线 上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 B(0, 1)，214yx那么在点 P 运动的过程中，P 始终与
22、直线 y1 相切这是因为：设点 P 的坐标为 已知 B(0, 1)，所21(,)4x以 222()4Bxx而圆心 P 到直线 y1 的距离也为 ，所以半径 PB圆心 P 到直线 y1 的1距离所以在点 P 运动的过程中，P 始终与直线 y1 相切例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25题如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yax 2bx c（a0）过 O、B 、C 三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和 ，以 OB 为直径的A 经过 C84(,)5点，直线 l 垂直 x 轴于 B 点 （1）求直线 BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点 M 是A
23、上一动点（不同于 O、B） ，过点M 作 A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段 ME 长为 m， MF 长为 n，请猜想 mn 的值，并证明你的结论；（4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点 C 作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好使BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的 t 值图 1动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界 25”，拖动点 M 在圆上运动，可以体验到，EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高拖动点 Q 在 BC 上运动，可以体验到，BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形
24、 思路点拨 1从直线 BC 的解析式可以得到 OBC 的三角比，为讨论等腰三角形 BPQ8作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结 AE、AF 容易看到AM 是直角三角形 EAF 斜边上的高 4第（4）题的PBQ 中，B 是确定的，夹B 的两条边可以用含 t 的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析（1）直线 BC 的解析式为 （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、B(10, 315yx0)两点，设 yax(x10)代入点 C ，得 解得 8(,)4832()5a54a所以 抛物线的顶225510)52444x点为 （3）如图 2，因为 EF 切A 于 M，所以(,AMEF由
25、AEAE ，AO AM，可得 RtAOERt AME 所以12同理34于是可得EAF90所以51由 tan5tan1，得 EF所以 MEMFMA 2，即 mn25 图 2（4）在BPQ 中，cos B ，BP10t ，BQ t 分三种情况讨论等腰三角形 BPQ：45如图 3，当 BPBQ 时，10tt 解得 t5如图 4，当 PBPQ 时， 解方程 ，得 1cos2QPB14(0)25tt8013 如图 5，当 QBQP 时， 解方程 ，得 5t图 3 图 4 图 5 图 6考点伸展在第（3）题条件下，以 EF 为直径的G 与 x 轴相切于点 A如图 6，这是因为 AG 既是直角三角形 EAF
26、 斜边上的中线，也是直角梯形 EOBF 的中位线，因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以G 与 x 轴相切于点 A例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26题在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2(mn) xmn （m n）与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C（1）若 m2，n1，求 A、B 两点的坐标；（2）若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，C 点坐标是(0, 1) ，求ACB 的大小；（3）若 m2，ABC 是等腰三角形，求 n 的值动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（2） ，拖动点 A
27、在 x 轴正半轴上运动，可以体验到，ABC 保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3） ，拖动点 B 在 x 轴上运动，观察ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，9等腰三角形 ABC 有 4 种情况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用 m，n 表示点 A、B、C 的坐标2第（2）题判定直角三角形 ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（3）题讨论等腰三角形 ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（1）由 yx 2(mn) xmn (xm)(xn)，且 mn，点 A 位于点 B 的右侧，可知 A(m, 0)，B(n, 0)若 m2，
28、n1，那么 A(2, 0)，B(1, 0)（2）如图 1，由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是(0, 1)，mn1，OC1若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 OAOBm (n)mn1所以 OC2OA OB所以 O所以 tan1tan2所以12又因为1 与3 互余，所以2 与3 互余所以ACB90（3）在ABC 中，已知 A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)讨论等腰三角形 ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得 AB2(n2)2，BC 25n 2，AC 244n 2当 ABAC 时，解方程( n2) 244n 2，得 （如图42）当 CACB 时，解方程
29、44n 25n 2，得 n2（如图 3），或 n2（A 、B 重合，舍去）当 BABC 时，解方程 (n2) 25n 2，得 （如图 4），或 （如图1515）图 1 图 2 图 3 图 4 图 5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0,1)，mn1由 A(m, 0)，B (n, 0)，C(0,1)，得 AB2(m n) 2m 22mnn 2m 2n 22，BC2n 21，AC 2m 21所以 AB2BC 2AC 2于是得到 RtABC，ACB90第（3）题在讨论等腰三角形 ABC 时，对于 CACB 的情况，此时 A、B 两点关于 y
30、轴对称，可以直接写出 B( 2, 0)，n2例 12 2014 年湖南省娄底市中考第 27题如图 1，在ABC 中，ACB90，AC4cm，BC 3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结 PQ，设运动时间为 t（s） （0t4） ，解答下列问题：（1）设APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？ S 的最大值是多少？（2）如图 2，连结 PC，将PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，当四边形 PQPC 为菱形时，求 t 的值；（3）当 t为何值时，APQ 是等
31、腰三角形？10图 1 图 2 图 3 图 4动感体验 请打开几何画板文件名“14 娄底 27”，拖动点 Q 在 AC 上运动，可以体验到，当点 P 运动到 AB 的中点时，APQ 的面积最大，等腰三角形 APQ 存在三种情况还可以体验到，当 QC2HC 时，四边形 PQPC 是菱形思路点拨 1在APQ 中，A 是确定的，夹A 的两条边可以用含 t 的式子表示2四边形 PQPC 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形， 图文解析（1）在 RtABC 中，AC4，BC3，所以 AB5，sinA ，cosA 345作 QDAB 于 D，那么 QDAQ sinA t所以 SS APQ 512P
32、QD()t 当 时，S 取得最大值，最大值为 23(5)10t2351()+08t28（2）设 PP与 AC 交于点 H，那么 PPQC，AHAPcosA 4(5)t如果四边形 PQPC 为菱形，那么 PQPC所以 QC2HC 解方程 ，得 （3）等腰三角形 APQ 存在三种情况：44(5)tt01t如图 5，当 APAQ 时，5tt 解得 如图 6，当 PAPQ 时，52t解方程 ，得 如图 7，当1cos2AQP()243QAQP 时， 解方程 得 csA15t1t图 5 图 6 图 7 图 8考点伸展在本题情境下，如果点 Q 是PPC 的重心，求 t 的值如图 8，如果点 Q 是PPC 的重心，那么 QC HC解方程 ，得 23244(5)3t6023t例 13 2015 年湖南省怀化市中考第 22题如图 1，已知 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 ABC 方向运动，它们到 C 点后都
