1、2005 年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题 4 分)1. 设 是有理数域上的不可约多项式, 为 在复数域内的一个根,)fx()fx则 的重数为 1 2. 阶行列式n.2113n 1!nk3. 设 、 均为 维列向量 : ,则 可逆, .n2AE1A3E4. 设向量组 线性无关,12,r 123121rr r 则 线性 相关.121,r5. 设 是 阶矩阵,秩 ,非齐次线性方程组 有解,则 的解向量组AnArAxx的秩为 .r6. 设 、 均为实数,二次型ab2222121311(,)()()()()n nnfxxbaxbaxbaxb 、 满足条件 时,
2、 为正定二次型. 0nf7. 设 是由矩阵 的全体实系数多项式组成的线性空间,其中VA, 其中 ,210132i则 的一组基是 .V2,EA8. 设 是数域 上的一维线性空间,写出 上的所有线性变换 ： VPV取定 的一个非零向量 ,则 的全部线性变换形如 ,其中 是()L:()afxa中任一取定的数.P9. 正交矩阵的实特征值为 .110. 设 为群, 、 分别是 的子群, 、 的阶分别是 、 ,且 、 互素,令 ,GHNGHNmnHN则元素 的阶为 . 1二、(10 分) 设 是数域 上的多项式,证明:在数域 上,若 ,(),fxgPP3()|fxg则 .(|fxg参考解答：若 中有一个是
3、零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设()fx, ,且()0fx12()()()srrrgxapxp是 的标准分解式,其中 是互不相同的最高次项系数为 1 的不可()gx12,s约多项式, 都是正整数.任取 的一个不可约因式 ,由于12,sr ()fx()qx, ,()|qxf3| 3|fg利用多项式整除的传递性,得 .由于 是不可约多项式,故 ,进一3|()g()qx()|xg步可知, , 对某个 及 .()iqxcp1iscP于是我们可以设, 12()()()stttfbxpx其中 是非负整数.从 知,存在多项式 ,使得12,stt 3|ghP,即33()|()gxfhx.12 123
4、 333()()()()s sr trr ttappxbpxx 由此推出 ,即 , .因此3iitit,12 1212()()()()()()()s sst rttt rtrtrtrtrtgxabppxxpxbafx 由多项式整除的定义知, .()|fgx3、(15 分) 设 为 级矩阵,且秩 秩 ,证明:对任意自然数 ,有秩 =秩 .AnA2kkA参考解答：对 作数学归纳法.当 时结论显然成立.假设 时结论成立,即k1,2k1krank rank .令A1, |0niiVXPA12,i那么显然有 .从 rank rank 知123 kdim = rank rank dim1n11kV于是 =
5、 .1Vk任取 ,即 ,亦即 ,那么 .于是0X0kA10()kAX01k.进一步有 ,这表明 ,从而 .因此, 2A132 V1k.于是1kVrank dim = dim dim rank . n11kVnkkA4、(15 分) 证明 :一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于 2 和符号差等于 0,或者秩等于 1.参考解答：充分性. 若 的秩为 1, 则可经非退化线性替换使12(,)nfx, 其中 ,故2121(,)nfxky naax.2212(,)()n nfxk 若 的秩为 2, 符号差为 0, 则可经非退化线性替换使12(,)nfx,212
6、11212(,)()nfxyy其中 均为 的一次多项式, 即12,y12,n 122nyaxaxbb故 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. 12(,)nfx必要性.设实二次型 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积12(,)nfx 1212()()nnaxabxbx 若两个一次多项式的系数成比例,即 ,不妨设 ,令(1,2)iibkan 10a12nyxx 则 ,即二次型 的秩为 1.2121(,)nfxky 12(,)nfx若两个一次多项式系数不成比例,不妨设 ,令21ab1223nnyxxyx 则 .再令1212(,)nfxy 1223nyzyz 则 ,故二次型 的秩为 2,符号
7、差为零.2121(,)nfxyz 12(,)nfx5、(15 分) 设 是数域 上的 维线性空间 的一组基 , 是 的非平凡子空1,n PnVWV间, 是 的一组基,证明:在 中可以找到 个向量 ,使1,r W1, nr1,nrii为 的一组基.11nrrii V参考解答：因为 是 的非平凡子空间,故 .于是 .对 作数学归纳法.首Vrr先, 不能都在 中.否则, ,出现矛盾 .设 是 中不属于12,n 1i2,n的一个向量,那么 112,ri线性无关.令,112(,)riWL则 dim .由归纳假设,在 中可以找到 个向量1Wr12,n (1)r23,nrii使 1212,nrrii 是 的
8、一组基. V6、(10 分)设 3 阶矩阵 满足 ,写出 的若当(Jordan)标准型的所有A230EA可能形式.参考解答： 因为 ,故 是 的一个零化多项式.设2 2()3fx是 的最小多项式,则 .由于 没有重根,故 没有()mxA()|mxf1)(x()mx重根.因此 可以对角化.从 知, 的特征根为 1 或 2.于是 的 Jordan230AEAA标准型的可能形式为, , , .11227、(10 分)设 是一个 维欧氏空间, 是 的一个标准正交基, A 是 的一Vn1,n VV个线性变换, 是 A 关于这个基的矩阵,证明: (A( ), ), (ija jiaij.(其中( , )表
9、示内积),12,ijn参考解答：由所给条件知 ( A , A , , A )=( , , , )A. 于是12 n12 nA =( , , , ) .i12 n212iiiniiaa注意 , , , 为 的一组标准正交基 ,故12 nV122(),),(,)()ijinijijijnijjiAaa 八、(25 分) 设 A 是数域 上的 维线性空间 的一个线性变换, 是 A 的最小多PnV()fx项式,在 中, , 、 均为首项系数为 1 的多项式,且Px12()()fxf1x2()f与 互素,令1()f2f(A)( ) , (A)( ) .11|Vf022|Vf0证明:(1) (5 分) 和
10、 都是 A 的不变子空间；12(2) (10 分) ；(3) (10 分) A 的最小多项式是 , A 的最小多项式是 .1|V1()fx2|V2()fx参考解答：(1) 注意 (A), (A)都是 A 的多项式,故f2A (A)= (A)A, A (A)= (A)A.1f2f任取 ,则 (A)( )=0.由于1Vf(A)(A( )=( (A)A)( )=(A (A)( )= A( (A)( )= A(0)=0.1f1f1f故 A( ) .由不变子空间的定义知, 是 A 的不变子空间.类似地可证, 也是 A 的不变1 V2V子空间.(2) 因为 与 互素,存在 使得1()fx2f(),uxvP
11、x.12()1ff将 A 代入上式,得x(A) (A)+ (A) (A)= ( 为恒等变换). (*)u1fv2f任取 ,则V(A) (A)( )+ (A) (A)( ). (*)1f2f由于 是 A 的最小多项式,故 (A)= (A) (A)= .于是 ()fx 0(A)( (A) (A)( )=( (A) (A) (A)( )= (A)( (A)( )= (A)( )=2u1fu1f2ufu0类似地, (A)( (A) (A)( )=0.因此v2f(A) (A)( ) ， (A) (A)( ) .12Vv2f1V于是从(*)知 .注意 都是 的子空间,故12V,.12V设 ,则 (A)(
12、)= , (A)( )= .由(*) 知12V1f02f0( (A) (A)( )+( (A) (A)( )= ,u1v2f0故 .因此 .12012V(3) 由于对任 ,有 (A)( ) ,故 (A)作为 上的线性变换是零变换,即f01f1V(A) ,亦即 是 A 的零化多项式.设 是 A 的最小多项式,则1f|V1()fx1|Vgx1|,从而有 .|gx()gfx类似地,设 是 A 的最小多项式,则 ,且 .2()x2|V2()|xf22()gxf取 ,那么 ,故 .1()|xfg任 ,由(2)知 ,可设 , .于是1212iV(A)( )= (A) (A)( )+ (A) (A)( )g
13、g2= (A) (A)( )+ (A) (A)( )=2112g0这表明 是 A 的零化多项式,故 .从而有 .于是()x|fx)(fx.12()(从, , 12()()fxffx11()gfx22()gfx知 .由于 是最高次项系数为 1 的多项式,且 知iigi |()ii.()iixf9、(10 分) 设 是有 1 的交换环, 是 的素理想, 是 的极大理想,如RPR12,nII R果 包含 的交集,证明 必为极大理想.P12,nII参考解答：已知 . 现在我们证明:存在某个 , ,使得12nPII i.反iP证法:假设对任 , 都不包含 ,则存在 , .由于 为理想,故iniIiaIiPjI, .12njaI 1,2n从而有.1212nnIIP 从 及 是 的素理想知, 中至少有一个属于 ,这与12naP R,a,iP,矛盾.这就证明了:存在某个 , ,使得 .而 是极大理想,故 或 . i1niIi iPIR但 是素理想, ,故 . 因此 为极大理想.PRiI
