1、第 1 页 共 37 页第 7 讲 全等三角形的综合、角平分线第一部分 知识梳理知识点一：全等三角形的综合 平移全等型 对称全等型 旋转全等型知识点二：角平分线的性质、角平分线上的点到角的两边的距离相等；、到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍，OABABO PPO BAABO P第 2 页 共 37 页知识点三：角平分线的作法角平分线的作法（尺规作图）以点 O 为圆心，任意长
2、为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点；分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P；过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求第二部分 考点精讲精练考点 1、三角形全等综合1、全等三角形实际应用1、如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 间的距离，先在过 B 点的 AB 的垂线L 上取两点 C、D ，使 CD=BC，再在过 D 点的垂线上取点 E，使 A、C 、E 在一条直线上，ED=AB 这时，测 ED 的长就得 AB 得长，判定 ACBECD 的理由是（ ）A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、
3、N 的距离，如果PQONMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）APO BPQ CMO DMQ 第 3 页 共 37 页（1） （2）3、如图，工人师傅要在墙壁的 O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点 B 处打开，墙壁厚是 35cm，点 B 与点 O 的垂直距离 AB 长是 20cm，在点 O 处作一直线平行于地面，在直线上截取 OC=35cm，过 C 作 OC 的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接 OD，然后，沿着 D0 的方向打孔，结果钻头正好从点 B 处打出这是什么道理？4、1805 年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸 Q 处，如图所示，因不知河宽，法军大
4、炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点 O 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营 Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0 处，让士兵丈量他所站立位置 B 与 0 点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军试问：法军能命中目标吗？请说明理由用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？第 4 页 共 37 页5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 A，B 的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图，先在平地取一个可直接到达 A，B 的点 C，再连接 AC，BC，并分别延长 AC 至 D，BC 至 E，使 DC=
5、AC，EC=BC，最后测出 DE 的长即为 A，B 的距离乙：如图，先过点 B 作 AB 的垂线 BF，再在 BF 上取 C，D 两点，使 BC=CD，接着过点 D 作 BD 的垂线 DE，交 AC 的延长线于点 E，则测出 DE 的长即为A，B 的距离丙：如图，过点 B 作 BDAB，再由点 D 观测，在 AB 的延长线上取一点 C，使 BDC=BDA，这时只要测出 BC 的长即为 A，B 的距离（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有_；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由第 5 页 共 37 页2、证两次全等相关问题1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, B= E,AF CD
6、,F 为垂足 , 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD ，BC=DA ，AE=CF 求证： BF=DE3、如图，AB=AD ，BC=DE，且 BAAC，DA AE，你能证明 AM=AN 吗？第 6 页 共 37 页3、探索两线段的关系问题1、如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2 ） ECBF.2、已知：如图，ABC 中， ADBC 于 D，E 是 AD 上一点，BE 的延长线交 AC于 F，若 BD=AD，DE=DC。求证： BFAC。3、如图：BEAC ，CFAB，BM=AC，CN=AB求证：（1）AM=AN ；（2）第 7 页
7、共 37 页AMAN4、探索三线段的数量关系问题1、在ABC 中， ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。第 8 页 共 37 页2、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 BAD，CEAB 于 E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE
8、 3、四边形 ABCD 中，AC 平分 BAD，CE AB 于 E， ADC+B=180，求证：2AE=AB+AD5、构造全等三角形问题1、如图，在ABC 中，BD=DC ， 1=2，求证：AD 平分 BAC第 9 页 共 37 页2、如图，已知 ACBD，EA、EB 分别平分 CAB 和DBA，CD 过点 E，则 AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由3、已知：如图，AD 是ABC 的中线，求证：AB+AC2AD4、如图，Rt ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，BG 平分 ABC，EFBC，交 AC于 F，求证：AE=CF第 10 页 共 37 页考点 2、角平分线的性质例 1、如
9、图，在 RtABC 中，A=90 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点D，AD=3 ，BC=10，则BDC 的面积是 例 2、三角形 ABC 中，A=60，则内角 B， C 的角平分线相交所成的角为 。例 3、如图，在ABC 中， A=45，C=75 ，BD 是ABC 的角平分线，则BDC的度数为（ ）A60 B70 C75 D105例 4、根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”来观察下图：（1）已知 OM 是 AOB 的平分线，P 是 OM 上的一点，且 PEOA，PF OB垂足分别为 EF，那么 = 这是根据 “ ”可得POEPOF 而得到的（2）如图，ABC 中，C=90，AC=BC，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB，垂足为 E，AB=6cm ，则 DEB 的周长为 cm
