1、分类讨论思想例题分析线段中分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性引发讨论。例 1 已知直线 AB 上一点 C，且有 CA=3AB，则线段 CA 与线段 CB 之比为_3：2_或_3：4_。练习：已知 A、B、C 三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm，点 M 为线段 AB 的中点，线段 BC=3cm，点 N 为线段 BC 的中点，求线段 MN 的长.解析：(1)点 C 在线段 AB 上： (2)点 C 在线段 AB 的延长线上NMA BC NMA B C例 2 下列说法正确的是（ ）A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段 AB=AC 那么点 A 是 BC 的中点。C、两条射线不平
2、行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。例 3 在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线 OM 平分AOB，ON 平分BOC，求MON 的大小。 （20或 50）CNMAOBC NMAOB练习 已知 ,过 O 作一条射线 OC，射线 OE 平分 ，射线 OD 平o60 AOC分 ，求 的大小。BDE（1）射线 OC 在 内 （2）射线 OC 在 外BBBAO CE DBAE DOC这两种情况下，都有o60E=32A BC1 C2小结：（对分类讨论结论的反思）为什么结论相同？虽然 的大小不AOC确定，但是所求的 与
3、的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果DOEAC是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。三角形中分类讨论思想的应用一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。1、三角形的形状不定需要分类讨论例 4、 在ABC 中，B25，AD 是 BC 上的高，并且 ADBC2，则BCA 的度数为_。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图 1，当ABC 的高在形内时，由ADBC2， 得ABDCAD，进而可以证明ABC 为直
4、角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。如图 2，当高 AD 在形外时，此时ABC 为钝角三角形。 由 ABDC2，得ABDCAD 所以BCAD25BCACADADC25901152、等腰三角形的分类讨论：a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例 5、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰
5、长是 cm，底边长为 cm，可得 或xy,12,9yx解得 或 即当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm；当腰长是 8cm 时，.921,yx,6yx.5,8A B D C 图 1 底边长是 5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例 6、已知等腰三角形的一个内角为 75则其顶角为（ ）A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或 75练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45，图 2 中顶角为 135。2、在 ABC 中
6、，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角B=_。3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例 7、 已知 x，y 为直角三角形两边的长，满足 xy224560，则第三边的长为_。解析：由 y224560，可得 20且 2分别解这两个方程，可得满足条件的解xy1，或xy23由于 x，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。当两直角边长分别为 2，2 时，斜边长为 2；当直角边长为 2，斜边长为 3 时，另一直角边的长为 5；当一直角边长为 2，另一直角边长为 3 时，斜边长为 13。综上，第三边的长为 或 5或 1。4、相似三角形的对应角(
7、或边)不确定而进行的分类。A B C D 图 2 例 8、如图所示，在 中， 是 的中点，过 点的直线ABC 64AP， ， CP交 于点 ，若以 为顶点的三角形和以 为顶点的三角形相似，则ABQP、 、 B、 、的长为（ ）(A)3 (B)3 或 (C)3 或 (D)4334析解：由于以 为顶点的三角形和以 为顶点的三角形有一个公共角APQ、 、 ABC、 、（ ） ，因此依据相似三角形的判定方法，过点 的直线 应有两种作法：一是过点PQ作 ，这样根据相似三角形的性质可得 ，即 ，解得PBC264；二是过点 作 ，交边 于点 ，这时 ，于3AQPAQBCAAPBC:是有 ，即 ，解得 . 所以 的长为 3 或 ，故应选(B)。24643Q四、本节小结分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。ACBP
