1、- 1 -中考数学专题复习分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次” 方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
2、1：分式方程无解的分类讨论问题 例题 1：（2011 武汉） a34932无 解 ， 求xax解：去分母，得：1.6,80a3-2-a2)(4)3(x或 者 或或由 已 知 ）（猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68a或例题 2：（2011 郴州） 2无 解 ， 求x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3：（2010 上海）已知方程 有实数根，求 m 的取值范围。01)2(xmx（1） 当 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程 x+1=0，有实数根 x=02m 1- 2 -A BC（2） 当 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：02m，且41-m,014)1(2即 0
3、2综（1）（2）得， 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略 的条件）02总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。例题 4：（2011 益阳）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 与042xm的根都是整数。0522 mx解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为 0，即 ， ，2m01.,1解 得同理， 且 ，又因为 m 为整数.4,02解 得 1.或取 （1）当 m=
4、1 时，第一个方程的根为 不是整数，所以 m=1 舍去。2x（2）当 m=1 时，方程 1、 2 的根均为整数，所以 m=1.练习：已知关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是：01)(2m4501且m3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5 ：（2011 青海）方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角01892x形的周长为（ ） 12 12 或 15 15 不能确定例题 6：（2011 武汉）三角形一边长 AB 为 13cm，另一边 AC 为 15cm，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。（54 或 84）例题 8：（2011 四校联考）一条绳子对折后成右图
5、 A、B, A.B 上一点 C，且有 BC=2AC,将其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或 120cm - 3 -A B1pCD 243p4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P 从点 A 出发，以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A 点停止，求点 P 运动 t 秒时， P，D 两点间的距离。解：点 P 从 A 点出发，分别走到 B，C ，D，A 所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即 5 秒，10 秒，15 秒
6、，20 秒。 （1）当 0t5 时，点 P 在线段 AB 上，|PD|=|P1D|= (cm)（2）当 5t10 时，点 P 在线段 BC 上，|PD|=|P 2D|= （3）当 10t15 时，点 P 在线段 CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t（4）当 15t20 时，点 P 在线段 DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30综上得：|PD|= 总结：本题从运动的观点，考查了动点 P 与定点 D 之间的距离，应根据 P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。例
7、题 10：（2010 福建）已知一次函数 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B ，试3y在 x 轴上找一点 P，使 PAB 为等腰三角形。分析：本题中PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（ 1）PA=PB；（2 ）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出 B 点坐标 ，A 点坐标（9，0）。()03，设 P 点坐标为 ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出 P 点坐标有)0(，x四解，分别为 。（不适合条件的解已舍去）)0369()(9，、，、，、， 总结：解答本题极易
8、漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。- 4 -MEABC A O A QAB CDN例 11：(2010 湖北) 如图，正方形 ABCD 的边长是2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动当 DM= 时，ABE 与以 D、M、N 为项点的三角形相似。分析与解答 勾股定理可得 AE= 当ABE 与以5D、M、 N 为项点的三角形相似时，DM 可以与 BE 是对应边，也可以与 AB 是对应边，所以本题
9、分两种情况：（1） 当 DM 与 BE 是对应边时， ，DMNABE即 （2）当 DM 与 AB 是对应边时，5,DM，即 故 DM 的长是 NABE15,52或例题 12：（2011 湘潭）如图，直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C（3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使三角形ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几
10、何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。易得： 32)3,0()( xyBxay在 抛 物 线 上再 结 合 点（2） 依题意得 ，抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1，y)1A1) 以 AQ 为底，则有 AB=QB,及 解得，y=0 或 y=6,又因为点（1,6）22)(10y在直线 AB 上(舍去)，所以此时存在一点 Q(1,0)2) 以 BQ 为底，同理则有 AB=AQ,解的 Q(1, ) Q(1, )63) 以 AB 为底，同理则有 QA=QB,存在点
11、 Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1) 、(1, ) 、(1, )6- 5 -【作业训练】 1已知等腰ABC 的周长为 18，BC=8若ABCABC，则ABC中一定有一定有条边等于（ ）A7 B2或 7 C5 D2或 72.（2010 衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是 1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。 30 60 30 或 90 603A、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行已知甲车速度为 120 千米/时，乙车速度为 80 千米/时，以过 小时两车相距 50 千米，则 的值是（ t t）A2 或 25 B2 或 10
12、C10 或 125 D2 或 1254已知O 的半径为 2，点 P 是O 外一点，OP 的长为 3，那么以 P 这圆心，且与O 相切的圆的半径一定是（ ）A1 或 5 B1 C5 D不能确定5.（2011 株洲市）两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程 的两0452x根，判断这两圆的位置关系： . 6已知点是半径为 2 的外一点，PA 是O 的切线，切点为 A，且 PA=2，在O 内作了长为 的弦 AB，连续 PB，则 PB 的长为 27.（2010 四校联考）在等腰三角形 ABC 中，AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两部分，则这个三角形的底边长为：. 8:变换例题 12，请问是否在 x 轴，y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。【参考答案】1D 2 .C 3. A 4A 5外切 6. 7. 7 或 11或 5
