1、1初中数学的几何最值问题经典例题1. （2016 山东济南 3 分）如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O的最大距离为【 】A B C 5 D2151422.（2016 湖北鄂州 3 分）在锐角三角形 ABC 中，BC= ，ABC=45 ，BD 平分ABC，M、 N 分别是 BD、BC 上的4动点，则 CM+MN 的最小值是 。3.（2016 四川凉山 5 分）如图，圆柱底面半径为 ，高为 ，点2cm9cA、B 分
2、别是圆柱两底面圆周上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 。4. （2016 四川眉山 3 分）在ABC 中，AB5，AC3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是 5.（2016 湖北荆门 3 分）如图，长方体的底面边长分别为 2 和 4 ，高为cm5 .若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行cm的最短路径长为【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm6.（2016 广西贵港 2 分）如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，点
3、 P 为线段 EF 上一个动点，连接BP、GP，则BPG 的周长的最小值是 7.（2016 浙江台州 4 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任 意一点，则 PK+QK 的最小值为 A 1 B C 2 D 1338.（2016 四川广元 3 分） 如图，点 A 的坐标为（-1，0） ，点 B 在直线上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为【 】yxA.（0，0） B.（ ， ） 212C.（ ， ） D.（ ， ）229.（2016 江苏连云港 12 分）已知梯形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，问题
4、1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA(
5、n 为常数)，以PE、PB 为边作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由10. （2016 四川自贡 12 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值11. （2016 福建南平 14 分）
6、如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接AD、DE，且1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）3答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ，求 CE 的最大值；若ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）12.（2016 四川南充 8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M是 BC 的
7、中点（1）求证：MDC 是等边三角形；（2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成AEF试探究AEF 的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值13.（2016 云南昆明 12 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1
8、）求 AC、BC 的长；（2）设点 P 的运动时间为 x（秒） ，PBQ 的面积为 y（cm 2） ，当PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似，请说明理由；（4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小，若存在，求出最小4周长，若不存在，请说明理由14. （2016 甘肃兰州 4 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周 长最小时，则AMNANM 的度数为【
9、】A130 B120 C110 D10015.（2016 湖北十堰 6 分）阅读材料：例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值22x1(3)4解： ，如图，建立平面直角坐标2 22() x01(x3)系，点 P（x，0）是 x 轴上一点，则 可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离，()可以看成点 P 与点 B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA2(3)与 PB 长度之和，它的最小值就是 PAPB 的最小值设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PAPB 的最小值，只需求PAPB 的最小值，而点 A、B 间的直线段距离最短，所以 PAPB 的最小值为线
10、段AB 的长度为此，构造直角三角形 ACB，因为 AC=3，CB=3，所以 AB=3 ，即原2式的最小值为 3 。2根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点22(x1)(x)9A（1，1） 、点 B 的距离之和 （填写点 B 的坐标）（2）代数式 的最小值为 2241x3716.（2016 江苏扬州 3 分）如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是 17.（2016 广东广州 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB
11、=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CEAB 于 E，设ABC=（6090） （1）当 =60时，求 CE 的长；（2）当 6090时，5是否存在正整数 k，使得EFD=kAEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由连接 CF，当 CE2CF 2取最大值时，求 tanDCF 的值18.（2016 江苏镇江 11 分）等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE，分别与边 AB、AC 交于点M、N（如图 1） 。（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x。若，BM= ，求 x 的值；38记四边形
12、 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值；连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2） ，当 x 取何值时，BAD=15 0？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。19. （2016 陕西省 12 分）如图，正三角形 ABC 的边长为 3+（1）如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上在正三角形 ABC 及其内部，以 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 ，且使正方形 的EFPEFPN面积最大（不要求写作法） ；（2）求（1
13、）中作出的正方形 的边长；PN（3）如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 D、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由620.（2016 四川宜宾 12 分）如图，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF 与ABC 重合在一起，ABC 不动，ABC 不动，DEF 运动，并满足：点 E 在边BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE、始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点（1）求证：ABEECM；（2）探究：在DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角
14、形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；（3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积21.（2016 安徽省 12 分）在ABC 中，ACB90，ABC30，将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为 (0 180)，得到A 1B1C(1)如图 1，当 ABCB 1时，设 A1B1与 BC 相交于点 D证明：A 1CD 是等边三角形；(2)如图 2，连接 AA1、BB 1，设ACA 1和BCB 1的面积分别为 S1、S 2求证：7图16图图H GFE DCBAS1S 213；(3)如图 3，设 AC 的中点为 E，A 1B1的中点为 P，ACa，连接 EP当 时，EP 的长度最大，最大值为 22已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 _(沈阳)23如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE DF连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 (武汉)
