1、1初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。一. 遇角需讨论例 1. 已知等腰三角形的一个内角为 75则其顶角为（ ）A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或 75简析：75角可能是顶角，也可能是底角。当 75是底角时，则顶角的度数为180752=30；当 75角是顶角时，则顶角的度数就等于 75。所以这个等腰三角形的顶角为 30或 75。故应选 D。说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定
2、顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。二. 遇边需讨论例 2. 已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。简析：已知条件中并没有指明 5 和 6 谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当 5 是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是 6，则此时等腰三角形的周长等于 16；当 6 是腰长时，这个三角形的底边长就是 5，则此时周长等于 17。故这个等腰三角形的周长等于 16 或 17。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。三.
3、 遇中线需讨论例 3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是 cm，底边长为 cm，可得 或xy,12,9yx2解得 或 即当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm；当腰长是 8cm 时，.921,yx,6yx.5,8底边长是 5cm。说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。四. 遇高需讨论例 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。
4、图 1 中顶角为 45，图 2 中顶角为 135。例 5. 为美化环境，计划在某小区内用 的草皮铺设一块一边长为 10 的等腰三230mm角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。简析：在等腰 ABC 中，设 AB=10 ，作 CDAB 于 D，由 ，3021CDABSABC可得 CD=6 。如下图，当 AB 为底边时，AD=DB=5 ，所以m。)(612mADCBA如下图，当 AB 为腰且 ABC 为锐角三角形时，3，所以 ，mACB10)(82mCDA。)(10,22BD如下图，当 AB 为腰且 ABC 为钝角三角形时， ，mBCA10)(82mCDB所以 。106,82AD说明：三
5、角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。五. 遇中垂线需讨论例 6.在 ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角B=_。简析：按照题意可画出如图 1 和如图 2 两种情况的示意图。如图 1，当交点在腰 AC 上时，ABC 是锐角三角形，此时可求得A=40，所以B=C= （18040）=70。2如图 2，当交点在腰 CA 的延长线上时，ABC 为钝角三有形，此时可求得BAC=140，所以B=C= （180140）=20214故这个等腰三角形的底角为 70或 20。说明：这
6、里的图 2 最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。六. 和方程问题的综合讨论例 7. 已知 ABC 的两边 AB，AC 的长是关于 的一元二次方程x的两个实数根，第三边 BC 长为 5。023)2(2kxkx（1） 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？（2） 为何值时，ABC 是等腰三角形，并求 ABC 的周长。k简析：（1）经计算，=1，x 1=k+1,x2=k+2。 由勾股定理得 k=2。（2）若 ABC 是等腰三角形，则有 AB=AC，AB=BC，AC=BC 这三种情形。方程可化为 ，即 ，023)(2kk 0)1)(kx21kx，显然
7、 ，即 。当 AB=BC 或 AC=BC 时，5 是方程12x1xACB的根。当 时，代入原方程可得 ，2 5072解得 ， 。1k4当 时，原方程的解为 ，等腰 ABC 的三边长分别为 5，5，4，周34,21x长为 14。当 时，原方程的解为 ，等腰 ABC 的三边长分别为565，5，6，周长为 16。所以当 或 时，ABC 是等腰三角形，周长分别为 14 或 16。3k4七、找点构造等腰三角形需讨论例 8 在直角坐标系中，O 为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点 P，使 AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有（ ） 5A、4 个 B、6 个 C、8 个 D、1 个解：（1
8、）、如图一，以 OA 为腰，以 O 为顶角顶点时，只须以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，与坐标轴分别交于 P1（ 2,0）P 2（ ,），P 3（ 2,0），P 4（ ,2），分别连接P1A，P 2A，P 3A，P 4A，可得到四个等腰三角形 OAP 1，OAP 2，OAP 3，OAP 4（2）、如图二，以 OA 为腰，以 A 为顶角顶点时，只须以 A 为圆心，以 AO 为半径作圆，与坐标轴分别交于 P5（2,0）P6（0,2），分别连接 P5A，P 6A，可得到两个等腰三角形OAP 5，OAP 6，（3）、如图三，当 OA 为底时，作 OA 的中垂线分别与坐标轴相交于 P7（1,0），P8（0,1）。答案：选 CP44P33P22P11AO图一图一图一P66P55AO图二图二图二AP77P88O图三图三图三
