1、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组） ，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作关于 x
2、、y 的二元方程f(x)y0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的1单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对
3、所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前
4、 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。、再现性题组：1.方程 lgxx3 的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函数 f(x)x bxc 对于任意实数 t，都有 f(2t)f(2t)，那么_。2A. f(2)0） ，则 ，解出 x2，再用万能公式，选212x215A；5 小题：利用 是关于 n 的一次函数，设 S S m， x，则（ ,p） 、(Sn pqpqmp,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得 x0，则答案：0；mq6 小题：设 cosxt，t-1,1，则 at t1 ,1，所
5、以答案： ,1；254547 小题：设高 h，由体积解出 h2 ，答案：24 ；368 小题：设长 x，则宽 ，造价 y41204x80 801760，答案：1760。41x、示范性题组：例 1. 设 a0，a1，试求方程 log (xak)log (x a )有实数解的 k 的范围。a22(89 年全国高考)【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。【解】 将原方程化为： log (xak)log ， 等价于 aax2（a0,a1）xak02 k ( | |1 ）, a()x21xa设 csc， ( ,0)
6、(0, )，则 kf()csc|ctg| 2当 ( ,0)时，f()cscctgctg 0)，设曲线 C ：yxak，曲线ax2a21C ：y (y0)，如图所示。2由图可知，当aka 或aak，即xak02xak()21()ka21k0，通分得 m(x 1)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取2值范围。【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换一个角度以 m 为变量，即关于 m 的一次不等式(x 1)m (2x1)m(x 1)的解集是-2,22时求 m 的值、关于 x 的不等式 2x1m(x 1)在-2,2 上恒成立时求 m 的范
7、围。2一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。例 3. 设等差数列a 的前 n 项的和为 S ，已知 a 12，S 0，S 0，12S 13a 78d13(122d)78d15652d0、a a a ，由n1 1213S 13a 0 得 a 0。所以，在 S 、S 、S 中，S137712676的值最大。6例 4. 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在平面，C 是圆周上任一点，设BAC，PAAB=2r，求异面直线 PB 和
8、AC 的距离。【分析】 异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。【解】 在 PB 上任取一点 M，作 MDAC 于 D，MHAB 于H，设 MHx，则 MH平面 ABC，ACHD 。MD x (2rx)sin (sin 1)2 22x 4rsin x4r sin 2(sin 1)x 212rsin412rsin即当 x 时，MD 取最小值 为两异面直线的距离。2rsi 2isn 【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值” ，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函
9、数问题” 。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第 8 题就是典型的例子。例 5. 已知ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列，且 tgAtgC2 ，又知顶3点 C 的对边 c 上的高等于 4 ,求ABC 的三边 a、b、c 及三内角。3【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。【解】 由 A、B、C 成等差数列，可得 B60；由ABC 中 tgAtgBtgCtgAtgBtgC，得tgAtgCtgB(tgAtgC1) (1 )3设 t
10、gA、tgC 是方程 x ( 3)x2 0 的两根，解得 x 1，x 22 3设 A0 在 x(-,1上恒成立的不等式问题。x【解】 由题设可知，不等式 12 4 a0 在 x(-,1上恒成立，x即：( ) ( ) a0 在 x(-,1上恒成立。2xx设 t( ) , 则 t ， 又设 g(t)t ta，其对称轴为 t2 12 t ta0 在 ,+)上无实根， 即 g( )( ) a0，得 a2121234所以 a 的取值范围是 a 。34【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地
11、，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。在解决不等式( ) ( ) a0 在 x(-,1上恒成立的问题时，也可使用 “分12xx离参数法”： 设 t( ) , t ，则有 at t(, ，所以 a 的取值范12234围是 a 。其中最后得到 a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属34应用“函数思想” 。、巩固性题组：1. 方程 sin2xsinx 在区间(0,2)内解的个数是_。A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 已知函数 f(x)|2 1|，af(c)f(b)，则_。xA. a0 B. a0,c0 C. 2 0，S 0)与椭圆 (x2 ) y 1 有四个交点。14p2(88 年全国高考)13.已知关于 x 的实系数二次方程 x axb0 有两个实数根 、。证明：2. 如果|2，|2，那么 2|a|4b 且|b|4；. 如果 2|a|4b 且|b|4，那么|2，|2 。 （93 年全国理）14.设 f(x)是定义在区间(-,+)上以 2 为周期的函数，对 kZ，用 I 表示区间k(2k-1,2k+1，已知当 xI 时，f(x)x 。 .求 f(x)在 I 上的解析表达式； .对0 k自然数 k，求集合 M a|使方程 f(x)ax 在 I 上有两个不相等的实根。 （89 年全k k国理）
