1、竞赛题汇编 1 万有引力定律一、（20 分）如图所示，哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期 T 为 76.1年，1986 年它过近日点 P0时与太阳 S 的距离 r0=0.590AU，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的 P 点，SP 与 SP0的夹角 P=72.0。已知：1AU=1.501011m，引力常量G=6.671011 Nm2/kg2，太阳质量mS=1.991030kg，试求 P 到太阳 S 的距离 rP及彗星过 P 点时速度的大小及方向（用速度方向与 SP0的夹角表示） 。一、参考解答：解法一取直角坐标系 Oxy，原点 O 位
2、于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为21xyab（1）a、 b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳 S 位于椭圆的一个焦点处，如图 1 所示以 表示地球绕太阳运动的周期，则 ；以 表示地球到太阳的距离（认eTe1.0T年 ea为地球绕太阳作圆周运动） ，则 ，根据开普勒第三定律，有e.AUa（2） 32Te设 c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得（3） car0（4） 2b由图 1 可知， P 点的坐标 （5） cosPxr（6） inPy把（5） 、 （6）式代入（1）式化简得22222sicoscos0PPPabrbba（7）根据求根公式可得SPrabO0xy图 122cossinP
3、Pbar（8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AUPr(9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为s2GmE=a(10) 式中 m 为彗星的质量以 表示彗星在 P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有Pv2ss12Pmra（11）得s1PPGrav（12） 代入有关数据得41.390msPv=(13) 设 P 点速度方向与 的夹角为 (见图 2)，根据开普勒第二定律0SPsin2PPrv（14） 其中 为面积速度，并有abT（15）由（9） 、 （13） 、 （14） 、 （15）式并代入有关数据可得127（16） 图 2SPrabO0xy解法二取极坐标，极点
4、位于太阳 S 所在的焦点处，由 S 引向近日点的射线为极轴，极角为 ，取逆时针为正向，用 r、 表示彗星的椭圆轨道方程为1cospre（1）其中， e 为椭圆偏心率， p 是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为 a，根据解析几何可知2a（2）将（2）式代入（1）式可得cos12ear（3）以 表示地球绕太阳运动的周期，则 ；以 表示地球到太阳的距离（认eTe.0T年 ea为地球绕太阳作圆周运动） ，则 ，根据开普勒第三定律，有e1.AUa32Te（4）在近日点 ，由（3）式可得01ra0（5）将 、 、 的数据代入（3）式即得Pae0.895AUPr（6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能s
5、2GmE=a(7)式中 m 为彗星的质量以 表示彗星在 P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有Pv2ss12Pmra（8）可得21PsPGmrav（9）代入有关数据得41.390sPv=(10)设 P 点速度方向与极轴的夹角为 ，彗星在近日点的速度为 ，再根据角动量守恒定0v律，有sinPPrrv0（11） 根据（8）式，同理可得21sGmra00v（12）由（6） 、 （10） 、(11)、(12)式并代入其它有关数据127(13)评分标准：本题 20 分解法一（2）式 3 分， （8）式 4 分， （9）式 2 分， （11）式 3 分，(13) 式 2 分,（14）式 3 分,（15）
6、式 1 分， （16）式 2 分解法二（3）式 2 分， （4）式 3 分， （5）式 2 分， （6）式 2 分， （8）式 3 分，(10) 式 2 分,（11）式 3 分,（12）式 1 分， （13）式 2 分(25 届)二、 （21 分）嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高 ，远地点离地面高 ，周期约为2.05nHkm45.0931fHkm16 小时，称为 16 小时轨道（如图中曲线 1 所示） 。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线 2 所示） ，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的
7、近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入 24 小时轨道、48 小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线 3、4、5 所示） 。已知卫星质量，地球半径 ，地面重力加速度 ，月球32.501mkg36.7810Rkm29.81/gms半径 。.78rm1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 。e2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 ，要把近地点抬490FN高到 600 ，问点火时间应持续多长？k3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周
8、期。4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 约为 200 ，周期 分钟，试据mHk127mT此估算月球质量与地球质量之比值。二、参考解答：1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离） 与 的算术平均值，即有nrf(1)f fnf1122HRHR代入数据得km (2) 43.1960a椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有(3)nfbr代入数据得(4)41.920km椭圆的偏心率 (5)abe2代入数据即得 (6)0.79412. 当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 和 分别表示它在近地点和远地点的速度，nv
9、f根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有(7)22nff11GMmrr式中 是地球质量， 是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地M心的连线垂直，根据角动量守恒，有(8)nfrv注意到(9)gRGM2由(7)、(8)、(9)式可得(10)fnnrv(11)nffn2gRrr当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有nnRHffH由(11)式并代入有关数据得km/s (12)f1.98v依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点
10、.所以新轨道远地点高度 km，但新4ff5.0931H轨道近地点高度 km.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为2n6.01Hkm/s (13)f.30v卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量，设发动机点火时间为 t，有(14) fmt由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 t= (约 2.5 分) 21.50s(15)这比运行周期小得多.3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以 r 表示它所在处矢径的大小， v 表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小(16 ) sin2Lmv其中1sir（17）是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于
11、角动量是守恒的，故 是恒量.利用远地点处的角动量，得(18)f12rv又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 (19) Sab所以卫星沿轨道运动的周期(20)T由(18)、(19)、(20) 式得(21)f2abrv代入有关数据得s (约 15 小时 46 分) (22)45.67810T注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期 T与 T0之比的平方等于它们的轨道半长轴 a 与 a0之比的立方，即 2300T若 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有0a2020GMmaT得 22034agR从而得2aT代入有关数据便可求得(22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根
12、据万有引力定律和牛顿定律有(23)2m2m()GMrT这里 是卫星绕月轨道半径， 是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得mrH(24)23m4rgRT代入有关数据得(25)m0.124M（29 届）三、 （23 分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度 （从地心算起）R延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到 0.80 处R意外地和太空电梯脱离（脱离时卫
13、星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在 012 小时及 1224 小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。2、如果太空电梯地点位于东经 110 度处，在太空电梯上离地心距离为 处有一卫星从XR电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零） ，脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。已知：地球质量 ，半径 的球体；引力恒量kgM2410.6mRe6104.；地球自转
14、周期 小时；假设卫星与太空电梯脱落后只2107.6mNG2T受地球引力作用。解 ：1.i.通 过 计 算 卫 星 在 脱 离 点 的 动 能 和 万 有 引 力 势 能 可 知 ， 卫 星 的 机 械 能 为 负 值 . 由 开 普 勒 第 一 定 律 可 推 知 ， 此 卫 星 的 运 动 轨 道 为 椭 圆 （ 或 圆 ） ， 地 心 为 椭 圆 的一 个 焦 点 (或 圆 的 圆 心 )， 如 图 所 示 .由 于 卫 星 在 脱 离 点 的 速 度 垂 直 于 地 心 和 脱 离点 的 连 线 ， 因 此 脱 离 点 必 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的 远 地 点 （ 或 近 地 点
15、） ； 设 近 地 点（ 或 远 地 点 ） 离 地 心 的 距 离 为 ，r卫 星 在 此 点 的 速 度 为 .由 开 普 勒v第 二 定 律 可 知(1)20.8rRv=式 中 为 地 球 自 转 的 角 速e(/TR0.80R a b 度 .令 表 示 卫 星 的 质 量 ， 根 据 机 械 能 守 恒 定 律 有m（ 2） 由 （ 1） 和 （ 2）22110.80.8GMmGMmRrv式 解 得(3)可 见 该 点 为 近 地 点 ,而 脱 离 处 为 远 地 点 .0.28rR【 （ 3） 式 结 果 亦 可 由 关 系 式 ： 210.80.80.8mRr直 接 求 得 】同
16、步 卫 星 的 轨 道 半 径 满 足R(4)22GM由 (3)和 (4)式 并 代 入 数 据 得(5)41.0kmr可 见 近 地 点 到 地 心 的 距 离 大 于 地 球 半 径 ， 因 此 卫 星 不 会 撞 击 地 球 .ii.由 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 卫 星 的 面 积 速 度 为 常 量 ， 从 远 地 点 可 求 出 该 常 量 为(6)设 和 分 别 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的 半 长2s0.8Rab轴 和 半 短 轴 ， 由 椭 圆 的 几 何 关 系 有(7).2a(8)20.8bR卫 星 运 动 的 周 期 为T(9)sabT代 人 相 关 数 值
17、可 求 出（10）9.5hT卫 星 刚 脱 离 太 空 电 梯 时 恰 好 处 于 远 地 点 ， 根 据 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 此 时 刻 卫星 具 有 最 小 角 速 度 ， 其 后 的 一 周 期 内 其 角 速 度 都 应 不 比 该 值 小 ， 所 以 卫 星 始 终 不比 太 空 电 梯 转 动 得 慢 ； 换 言 之 ， 太 空 电 梯 不 可 能 追 上 卫 星 .设 想 自 卫 星 与 太 空电 梯 脱 离 后 经 过 （ 约 14 小 时 ） ， 卫 星 到 达 近 地 点 ， 而 此 时 太 空 电 梯 已 转 过 此.5T点 ， 这 说 明 在 此 前 卫
18、 星 尚 未 追 上 太 空 电 梯 .由 此 推 断 在 卫 星 脱 落 后 的 0-12 小时 内 二 者 不 可 能 相 遇 ； 而 在 卫 星 脱 落 后 12-24 小 时 内 卫 星 将 完 成 两 个 多 周 期 的运 动 ， 同 时 太 空 电 梯 完 成 一 个 运 动 周 期 ， 所 以 在 12-24 小 时 内 二 者 必 相 遇 ， 从而 可 以 实 现 卫 星 回 收 .2.根 据 题 意 ， 卫 星 轨 道 与 地 球 赤 道 相 切 点 和 卫 星 在 太 空 电 梯 上 的 脱 离 点 分 别 为其 轨 道 的 近 地 点 和 远 地 点 .在 脱 离 处 的
19、 总 能 量 为（ 11）2xxxe1()GMmRR此 式 可 化 为(12) 3xx23ee1eRGMR这 是 关 于 的 四 次 方 程 ， 用 数 值 方 法 求 解 可 得xR（ 13）4xe4.73.0km【 亦 可 用 开 普 勒 第 二 定 律 和 能 量 守 恒 定 律 求 得 .令 表 示 卫 星 与 赤 道 相 切 点x ev即 近 地 点 的 速 率 ， 则 有 2exRv和 22exx11()GMmGmv由 上 两 式 联 立 可 得到方程 53xxx2323eee0eRR其中除 外其余各量均已知, 因此这是关于 的五次方程. 同样可以用数值方法解得 .】xRx xR卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期 ，设椭圆的半长轴为 ，半短轴为 ，有T ab(14)xe2R(15)2xeba因为面积速度可表示为(16)2sx1R所以卫星的运动周期为(17)sabT代入相关数值可得h(18)6.8卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行 180 度，落到西经 处与赤道相切. 但由于地球自(180)转，在这期间地球同时转过了 角度，地球自转角速度 ，因此卫/2T 360/24h15/星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经（19）18012T
