1、基本不等式提高题1已知直线 l1：a 2x+y+2=0 与直线 l2：bx（a 2+1）y1=0 互相垂直，则|ab|的最小值为（ ）A 5 B 4 C 2 D 12已知 a0，b1 且 2a+b=4，则 + 的最小值为（ ）A 8 B 4 C 2 D3设 ab0，则 a+ + 的最小值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 3+24已知 M 是ABC 内的一点，且 ，BAC= ，若MBC，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y，则 的最小值为（ ）A 16 B 18 C 20 D 245实数 x、y 满足 x2+2xy+y2+4x2y2=4，则 xy 的最大值为（ ）A B C D 26已知 D
2、、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BD=2AD，AE=2EC，点 P 是线段 DE 上的任意一点，若 =x+y ，则 xy 的最大值为（ ）A B C D7若一个三角形某边长为 4，周长为 10，则此三角形面积的最大值为（ ）A 2 B 4 C D 38若 log4（3a+4b）=log 2 ，则 a+b 的最小值是（ ）A 6+2 B 7+2 C 6+4 D 7+49设 a1，b0，若 a+b=2，则 的最小值为（ ）A 3+2 B 6 C 4 D10已知正数 x、y、z 满足 x2+y2+z2=1，则 S= 的最小值为（ ）A 3 B C 4 D 2（ +1）11设 x0，
3、y0，x+yx 2y2=4，则 的最小值等于（ ）A 2 B 4 C D12已知实数 a，b 满足 a2+b2=1，则 a4+ab+b4的最小值为（ ）A B 0 C 1 D13若 x，yR，函数 f（x）=（x+y） 2+（ y） 2的最小值是（ ）A 4 B 0 C 2 D 114设 a，b，cR，且 a+b+c=2，a 2+b2+c2=12，则 c 的最大值和最小值的差为（ ）A 2 B C D15 “ ”称为 a，b，c 三个正实数的“调和平均数” ，若正数 x，y 满足“x，y，xy 的调和平均数为 3”，则 x+2y 的最小值是（ ）A 3 B 5 C 7 D 816若实数 x、y
4、、z 满足 x2+y2+z2=2，则 xy+yz+zx 的取值范围是（ ）A 1，2 B 1，2 C 1，1 D 2，217已知 x，y 满足 x0，x 2+（y2） 2=2，则 w= 的最大值为（ ）A 4 B 5 C 6 D 718若 k1，a0，则 k2a2+ 取得最小值时，a 的值为（ ）A 1 B C 2 D 419已知 a0，b0，f= ，则 f 的最小值为（ ）A 8 B 16 C 20 D 2520若正数 x，y 满足 + =1，则 + 的最小值为（ ）A 1 B 4 C 8 D 1621若正数 a，b，c 满足 c2+4bc+2ac+8ab=8，则 a+2b+c 的最小值为（
5、 ）A B 2 C 2 D 222设 a，b0，且 2a+b=1，则 2 4a 2b 2的最大值是（ ）A +1 B C D 123已知实数 x0，y0，02，且 x+y=3，则 的最小值为（ ）A B 2 C D 324设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 sin2A+sin2B+sin2C= ，面积 S1，2，则下列不等式一定成立的是（ ）A （a+b）16 B bc（b+c）8 C 6abc12 D 12abc2425已知点 F（0，1） ，直线 l：y=1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且= ，动点 P 的轨迹为 C，已知圆 M
6、 过定点 D（0，2） ，圆心 M 在轨迹 C 上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、B 两点，设|DA|=l 1，|DB|=l 2，则 + 的最大值为_26设 f（x）=a 22b 2x（ab0） ，当1x1 时，f（x）0 恒成立，当 取得最小值时，a=_27在ABC 中，设 AD 为 BC 边上的高，且 AD=BC，b，c 分别表示角 B，C 所对的边长，则 的取值范围是_28已知 x，y，zR +，且 x+4y+9z=1，则 + + 的最小值是_29已知点 A（1，1） ，B（4，0） ，C（2，2） ，平面区域 D 是所有满足= + （1a，1b）的点 P（x，y）组成的区域若区域
7、D 的面积为 8，则 4a+b 的最小值为 _30设实数 a，b，c，d 满足 ab=c2+d2=1，则（ac） 2+（bd） 2的最小值为_参考答案1 （2015嘉兴一模）已知直线 l1：a 2x+y+2=0 与直线 l2：bx（a 2+1）y1=0 互相垂直，则|ab|的最小值为（ ）A 5 B 4 C 2 D 1考点： 基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出 a，b 关系，然后求出 ab的最小值解答： 解：直线 l1与 l2的斜率存在，且两直线垂直，a 2b（a 2+1）=0，b= 0，当 a0
8、时，|ab|=ab=a+ 2；当 a0 时，|ab|=ab=a 2，综上，|ab|的最小值为 2故选 C点评： 此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键2 （2015重庆模拟）已知 a0，b1 且 2a+b=4，则 + 的最小值为（ ）A 8 B 4 C 2 D考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： a0，b1 且 2a+b=4，由 b=42a0，解得 0a2则+ = =f（a） ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出解答： 解：a0，b1 且 2a+b=4，b=42a1，解得 0a 则 + = = =
9、f（a） ，f（a）= + = ，当 时，f（a）0，此时函数单调递减；当 时，f（a）0，此时函数单调递增当 a= 时，f（a）取得极小值即最小值， = + 的最小值为 故选：D点评： 本题考查了导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （2015哈尔滨校级二模）设 ab0，则 a+ + 的最小值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 3+2考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 不等式分析： 由题意可得 ab0，a+ + =（ab）+ + +b，由基本不等式可得解答： 解：解：ab0，ab0，a+ + =（ab）+ + +b4 =4当且即当（ab）= = =b 即 a
10、=2 且 b=1 时取等号，a+ + 的最小值为：4故选：C点评： 本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键4 （2015烟台一模）已知 M 是ABC 内的一点，且 ，BAC= ，若MBC，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y，则 的最小值为（ ）A 16 B 18 C 20 D 24考点： 基本不等式；平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用分析： 由 ，BAC= ，利用数量积运算可得 ，即bc=4利用三角形的面积计算公式可得 SABC = =1已知MBC，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y可得 ，化为 x+y= 再利
11、用基本不等式 = = 即可得出解答： 解： ，BAC= ， ，bc=4S ABC = = =1MBC，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y ，化为 x+y= = = =18，当且仅当y=2x= 时取等号故 的最小值为 18故选：B点评： 本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题5 （2015上海二模）实数 x、y 满足 x2+2xy+y2+4x2y2=4，则 xy 的最大值为（ ）A B C D 2考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y） 2+（2xy） 2=4，设x+
12、y=2cos，2xy=2sin，0，2） 化简利用三角函数的单调性即可得出解答： 解：x 2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y） 2+（2xy） 2=4，设 x+y=2cos，2xy=2sin，0，2） 则（xy） 2=（x+y） 24xy=4cos 24sin=54（sin+ ） 25，xy 故选：C点评： 本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （2015河南一模）已知 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BD=2AD，AE=2EC，点 P 是线段 DE 上的任意一点，若 =x +y ，则 xy 的最大值为（
13、 ）A B C D考点： 基本不等式；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用分析： 如图所示， ， 由于点 P 是线段 DE 上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数 k 使得 =k + ，与=x +y 比较可得 2x+y= ，再利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：如图所示， 点 P 是线段 DE 上的任意一点，存在实数 k 使得 =k + ，与 =x +y 比较可得： ，2x+y= ， ，化为 xy ，当且仅当 2x=y= 时取等号故选：B点评： 本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档
14、题7 （2015湖南一模）若一个三角形某边长为 4，周长为 10，则此三角形面积的最大值为（ ）A 2 B 4 C D 3考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 解三角形分析： 设三角形另外两边分别为 a，b可得 a+b=6由余弦定理可得：42=a2+b22abcosC，化为 ，利用=5ab25，再利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：设三角形另外两边分别为 a，b则 4+a+b=10，a+b=6由余弦定理可得：4 2=a2+b22abcosC，16=（a+b） 22ab2abcosC，化为 ， ， = =5ab25=20，当且仅当 a=b=3 时取等号 故选：A点评： 本题考查了三角形的周
15、长及其面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题8 （2014重庆）若 log4（3a+4b）=log 2 ，则 a+b 的最小值是（ ）A 6+2 B 7+2 C 6+4 D 7+4考点： 基本不等式；对数的运算性质菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数的运算法则可得 0，a4，再利用基本不等式即可得出解答： 解：3a+4b0，ab0，a0b0log 4（3a+4b）=log 2 ，log 4（3a+4b）=log 4（ab）3a+4b=ab，a4，a0b0 0，a4，则 a+b=a+ =a+ =a+3+ =（a4）+ +7+7=4 +7，当
16、且仅当 a=4+2 取等号故选：D点评： 本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题9 （2014淄博一模）设 a1，b0，若 a+b=2，则 的最小值为（ ）A 3+2 B 6 C 4 D考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 变形利用基本不等式即可得出解答： 解：a1，b0，a+b=2，a10，a1+b=1 = =3+=3+2 当且仅当 b= （a1） ，a+b=2，即 a= ，b=2 时取等号 的最小值为 故选：A点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题10 （2015 春和平区校级月考）已知正数 x、y、z 满足 x2+y2+z2=1，则 S
17、= 的最小值为（ ）A 3 B C 4 D 2（ +1）考点： 基本不等式；二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 由题意可得 1z 2=x2+y22xy，从而可得 ，由基本不等式和不等式的性质可得 4解答： 解：由题意可得 0z1，01z1，z（1z）（ ） 2= ，当且仅当 z=（1z）即 z= 时取等号，又x 2+y2+z2=1，1z 2=x2+y22xy，当且仅当 x=y 时取等号， 1， 1， ， 4，当且仅当 x=y= 且 z= 时取等号，S= 的最小值为 4故选：C点评： 本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题11 （2015赫章县
18、校级模拟）设 x0，y0，x+yx 2y2=4，则 的最小值等于（ ）A 2 B 4 C D考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 由 x+yx 2y2=4 可得 x+y=x2y2+4，x0，y0于是= =xy+ ，再利用基本不等式即可得出解答： 解：由 x+yx 2y2=4 可得x+y=x2y2+4，x0，y0= ，当且仅当 xy=2 时取等号，因此 的最小值等于 4故选：B点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题12 （2014鸠江区校级自主招生）已知实数 a，b 满足 a2+b2=1，则 a4+ab+b4的最小值为（ ）A B 0 C 1 D考点： 基本不
19、等式菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： 由 a2+b2=1，可设 a=cos，b=sin，0，2） 利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性即可得出解答： 解：a 2+b2=1，可设 a=cos，b=sin，0，2） a 4+ab+b4=cos4+cossin+sin 4=（cos 2+sin 2）22sin 2cos 2+cossin= +1= ，当 sin2=1 时，上式取得最小值为 0故选：B点评： 本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了转化方法，属于中档题13 （2014四川二模）若 x，yR，函数 f（x）=（x+y） 2+（ y）
20、 2的最小值是（ ）A 4 B 0 C 2 D 1考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 计算题；不等式的解法及应用分析： f（x）=（x+y） 2+（ y） 2表示（x， ）与（y，y）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线 y= 上的点到 y=x 上的点的距离的最小值的平方，由曲线的性质可求答案解答： 解：f（x）=（x+y） 2+（ y） 2表示（x， ）与（y，y）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线 y= 上的点到 y=x 上的点的距离的最小值的平方，而两曲线关于 y=x 对称，（1，1）或（1，1）到（0，0）的距离的平方即为所求，d= 2=2，故选：C点评： 该题考查函数的最值问题
21、，考查转化思想，解决该题的关键是熟练式子的几何意义并能正确转化14 （2014绵阳三模）设 a，b，cR，且 a+b+c=2，a 2+b2+c2=12，则 c 的最大值和最小值的差为（ ）A 2 B C D考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 将 c 看成常数，求出 a+b，ab，构造方程 x2（2c）x+c 22c4=0，应用判别式不小于 0，解出不等式，求出 c 的最大值和最小值，作差即可解答： 解：a+b+c=2，a+b=2ca 2+b2+c2=12，（a+b） 22ab+c 2=12，（2c） 22ab+c 2=12，ab=c 22c4于是 a，b 可以看成是关于 x
22、的方程 x2（2c）x+c 22c4=0 的两根，=（2c） 24（c 22c4）0，解得，2c ，c 的最大值为 ，最小值为2，即 c 的最大值和最小值的差为 故选 C点评： 本题主要考查多元最值问题，解决的方法是将其中的一个看作常数，应用基本不等式或二次方程有实数解的条件，判别式不小于 0，解出不等式15 （2014金华模拟） “ ”称为 a，b，c 三个正实数的“调和平均数” ，若正数 x，y 满足“x，y，xy的调和平均数为 3”，则 x+2y 的最小值是（ ）A 3 B 5 C 7 D 8考点： 基本不等式菁优网版权所有专题： 综合题；不等式的解法及应用分析： 由调和平均数的定义，结合已知得到 x= ，再由 x0 得到 y1，把 x=代入 x+2y，整理后利用基本不等式求最值解答： 解：由“调和平均数”定义知，x，y，xy 的调和平均数为 ，整理得：x+y+1=xy，x= ，x= 0，y1则 x+2y= = = =当且仅当 2（y1）= ，即 y=2 时上式等号成立
