1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文一、填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分）1.（4 分） （2015上海）函数 f（x）=13sin 2x 的最小正周期为 .解析：由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期.函数 f（x）=13sin 2x=13 = + cos2x，函数的最小正周期为 =，答案：.点评：本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题.2.（4 分） （2015上海）设全集 U=R.若集合 A=1，2，3，4，B=x|
2、2x3，则A（C UB）= 1，3，4 .考点：交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有解析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可.全集 U=R，集合 =1，2，3，4，=x|2x3，（ UB）=x|x3 或 x2，A（ UB）=1，3，4，答案：1，3，4.3.（4 分） （2015上海）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= .考点： 复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有解析：设 z=a+bi，则 =abi（a，bR） ，又 3z+ =1+i，3（a+bi）+（abi）=1+i，化为 4a+2bi=1+i，4a=1，2b=1，解得 a
3、= ，b= .z= .答案： .4.（4 分） （2015上海）设 f1 （x）为 f（x）= 的反函数，则 f1 （2）= .考点： 反函数.菁优网版权所有解析：由 y=f（x）= ，得 ，x，y 互换可得， ，即 f1 （x）= . .答案： .5.（4 分） （2015上海）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 c1c 2= 16 .考点： 二阶行列式与逆矩阵.菁优网版权所有解析：由题意知 ，是方程组 的解，即 ，则 c1c 2=215=16，答案：16.6.（4 分） （2015上海）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 4 .考点： 棱锥的结构特征.菁优网版权所
4、有解析：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为 aasin60，正棱柱的高为 a，（ aasin60）a=16 ，a=4，答案：4.7.（4 分） （2015上海）抛物线 y2=2px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= 2 .考点： 抛物线的简单性质.菁优网版权所有解析：因为抛物线 y2=2px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，所以 =1，所以 p=2.答案：2.8.（4 分） （2015上海）方程 log2（9 x1 5）=log 2（3 x1 2）+2 的解为 2 .考点： 对数的运算性质.菁优网版权所有解析：log 2（9 x
5、1 5）=log 2（3 x1 2）+2，log 2（9 x1 5）=log 24（3 x1 2），9 x1 5=4（3 x1 2） ，化为（3 x） 2123 x+27=0，因式分解为：（3 x3） （3 x9）=0，3 x=3，3 x=9，解得 x=1 或 2.经过验证：x=1 不满足条件，舍去.x=2.答案：2.9.（4 分） （2015上海）若 x，y 满足 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为 3 .考点： 简单线性规划.菁优网版权所有解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=x+2y 得 y= x+ z，平移直线 y= x+ z，由图象可知当直线 y= x+ z
6、 经过点 B 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大.由 ，解得 ，即 B（1，1） ，代入目标函数 z=x+2y 得 z=21+1=3答案：3.10.（4 分） （2015上海）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）.考点： 排列、组合的实际应用.菁优网版权所有解析：根据题意，报名的有 3 名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师，在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，有 C95=126 种；其中只有女教师的有 C65=6 种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为 12
7、66=120 种；答案：12011.（4 分） （2015上海）在（2x+ ） 6的二项式中，常数项等于 240 （结果用数值表示）.考点： 二项式系数的性质.菁优网版权所有解析：由（2x+ ） 6，得= .由 63r=0，得 r=2.常数项等于 .答案：240.12.（4 分） （2015上海）已知双曲线 C1、C 2的顶点重合，C 1的方程为 y 2=1，若 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2的方程为 .考点： 双曲线的简单性质.菁优网版权所有解析：C 1的方程为 y 2=1，一条渐近线的方程为 y= ，因为 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜
8、率的 2 倍，所以 C2的一条渐近线的方程为 y=x，因为双曲线 C1、C 2的顶点重合，所以 C2的方程为 .答案： . 13.（4 分） （2015上海）已知平面向量 、 、 满足 ，且| |，| |，| |=1，2，3，则| + + |的最大值是 3+ .考点： 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有解析：分别以 所在的直线为 x，y 轴建立直角坐标系，当| |，| |=1，2，| |=3，则 ，设 ，则 x2+y2=9， + + =（1+x，2+y） ，| |= 的最大值，其几何意义是圆 x2+y2=9 上点（x，y）与定点（1，2）的距离的最大值为 =3+ ；且| |，| |=1，3，
9、| |=2，则 ，x 2+y2=4， + + =（1+x，3+y）| |= 的最大值，其几何意义是圆 x2+y2=4 上点（x，y）与定点（1，3）的距离的最大值为 2+ =2+ ，| |，| |=2，3，| |=1，则 ，设 ，则 x2+y2=1 + + =（2+x，3+y）| |= 的最大值，其几何意义是在圆 x2+y2=1上取点（x，y）与定点（2，3）的距离的最大值为 1+ =1+ ，故| + + |的最大值为 3+ .答案：3+14.（4 分） （2015上海）已知函数 f（x）=sinx.若存在 x1，x 2，x m满足0x 1x 2x m6，且|f（x 1）f（x 2）|+|f（
10、x 2）f（x 3）|+|f（x m1 ）f（x m）|=12（m12，mN *） ，则 m 的最小值为 8 .考点： 正弦函数的图象.菁优网版权所有答案：8 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 21 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分.15.（6 分） （2015上海）设 z1、z 2C，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1z 2是实数”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有解析：若 z1、z 2均为实数，则 z1
11、z 2是实数，即充分性成立，当 z1=i，z 2=i，满足 z1z 2=0 是实数，但 z1、z 2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z 1、z 2均为实数”是“z 1z 2是实数”的充分不必要条件，答案：A16.（5 分） （2015上海）下列不等式中，与不等式 2 解集相同的是（ ）A.(x+8)(x2+2x+3)2B.x+82（x 2+2x+3）C. D. 考点： 其他不等式的解法.菁优网版权所有解析：由于 x2+2x+3=（x+1） 2+20，不等式 2，等价于 x+82（x 2+2x+3） ，答案：B17.（5 分） （2015上海）已知点 A 的坐标为（4 ，1） ，将 OA 绕
12、坐标原点 O 逆时针旋转至 OB，则点 B 的纵坐标为（ ）A.B.C.D.考点： 任意角的三角函数的定义.菁优网版权所有解析：点 A 的坐标为（4 ，1） ，设xOA=，则 sin= = ，cos= = ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，则 OB 的倾斜角为 + ，则|OB|=|OA|= ，则点 B 的纵坐标为 y=|OP|sin（+ ）=7（sincos +cossin ）=7（ +）= +6= ，答案：D18.（5 分） （2015上海）设 P n（x n，y n）是直线 2xy= （nN *）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限 =（ ）A. 1B. C. 1
13、D. 2考点： 极限及其运算.菁优网版权所有解析：当 n+时，直线 2xy= 趋近于 2xy=1，与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1，1） ，而 可看作点 P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆 x2+y2=2 在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为1. =1.答案：A.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（12 分） （2015上海）如图，圆锥的顶点为 P，底面圆为 O，底面的一条直径为 AB，C为半圆弧 的中点，E 为劣弧 的中点，已知 PO=2，OA=1，求三棱锥 PA
14、OC 的体积，并求异面直线 PA 和 OE 所成角的大小.考点： 异面直线及其所成的角.菁优网版权所有解析： 由条件便知 PO 为三棱锥 PAOC 的高，底面积 SAOC 又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积.根据条件能够得到 OEAC，从而找到异面直线PA，OE 所成角为PAC，可取 AC 中点 H，连接 PH，便得到 PHAC，从而可在 RtPAH 中求出 cosPAC，从而得到PAC.答案：PO=2，OA=1，OCAB； ；E 为劣弧 的中点；BOE=45，又ACO=45；OEAC；PAC 便是异面直线 PA 和 OE 所成角；在ACP 中，AC= ， ；如图，取 A
15、C 中点 H，连接 PH，则 PHAC，AH= ；在 RtPAH 中，cosPAH= ；异面直线 PA 与 OE 所成角的大小为 arccos .20.（14 分） （2015上海）已知函数 f（x）=ax 2+ ，其中 a 为常数(1)根据 a 的不同取值，判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；(2)若 a（1，3） ，判断函数 f（x）在1，2上的单调性，并说明理由.考点： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质.菁优网版权所有解析： (1)根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；(2)根据导数和函数的单调性的关系即可判断.答案：(1)当 a=0 时，f（x）= ，显然为奇函数
16、，当 a0 时，f（1）=a+1，f（1）=a1，f（1）f（1） ，且 f（1）+f（1）0，所以此时 f（x）为非奇非偶函数.(2)a（1，3） ，f（x）=ax 2+ ，f（x）=2ax = ，a（1，3） ，x1，2，2ax 310，f（x）0，函数 f（x）在1，2上的单调递增.21.（14 分） （2015上海）如图，O，P，Q 三地有直道相通，OP=3 千米，PQ=4 千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地，经过 t 小时，他们之间的距离为f（t） （单位：千米）.甲的路线是 OQ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 OPQ，速度为 8 千米/小时，
17、乙到达 Q 地后在原地等待.设 t=t1时乙到达 P 地，t=t 2时乙到达 Q 地.(1)求 t1与 f（t 1）的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当 t1tt 2时，求 f（t）的表达式，并判断 f（t）在t 1，t 2上的最大值是否超过 3？说明理由.考点： 函数与方程的综合运用.菁优网版权所有解析： （1）用 OP 长度除以乙的速度即可求得 t1= ，当乙到达 P 点时，可设甲到达 A 点，连接 AP，放在AOP 中根据余弦定理即可求得 AP，也就得出 f（t 1） ；（2）求出 t2= ，设 t ，且 t 小时后甲到达 B 地，而乙到达 C 地，并连接 BC，能
18、够用 t 表示出 BQ，CQ，并且知道 cos ，这样根据余弦定理即可求出 BC，即f（t） ，然后求该函数的最大值，看是否超过 3 即可.答案：(1)根据条件知 ，设此时甲到达 A 点，并连接 AP，如图所示，OA= ；在OAP 中由余弦定理得，f（t 1）=AP= =（千米） ；(2)可以求得 ，设 t 小时后，且 ，甲到达了 B 点，乙到达了 C 点，如图所示：则 BQ=55t，CQ=78t；在BCQ 中由余弦定理得，f（t）=BC= ；即 f（t）= ， ；设 g（t）=25t 242t+18， ，g（t）的对称轴为 t= ；且 ；即 g（t）的最大值为 ，则此时 f（t）取最大值 ；即 f（t）在t 1，t 2上的最大值不超过 3.22.（16 分） （2015上海）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1和 l2分别与椭圆交于点 A、B 和 C、D，记AOC 的面积为 S.(1)设 A（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1的距离，并证明 S=|；(2)设 l1：y=kx， ，S= ，求 k 的值；(3)设 l1与 l2的斜率之积为 m，求 m 的值，使得无论 l1和 l2如何变动，面积 S 保持不变.考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式.菁优网版权所有.
