1、一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由 16 世纪的法国数学家韦达发现的它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用【知识要点】1如果方程 (aO)的两根为 ， ，那么 ， ，这就是一元二次方程的根与系数的关系2如果两个数的和为 m，积为 n，则以这两个数为根的一元二次方程为 3若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根4求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式5当一元二次方程 (aO)有两根 ， 时：(1)若 ，则方程有一正一负根；(2)若 ， ，则方程有
2、两个正根；(3)若， ，则方程有两个负根【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面：求方程中字母系数的值或取值范围；求代数式的值；结合根的判别式，判断根的符号特征；构造一元二次方程解题；证明代数等式，不等式；与一元二次方程的整数根有关的问题【范例解读】题 1 (1997陕西) 已知二次方程 (ac0)有两异号实根 m 和 n，且 m0，从而 ， 方程 的判别式：，故方程必有两实根设这两个实根为 ， ，则由根与系数关系得， ，可知 ， 均为负数，故选(A)
3、题 2 (1997上海) 若 a 和 b 是方程 的两个实根，c 和 d 是方程的两个实根， e 和 f 是方程 的两个实根，则的值为_分析 由已知可得 ab3，cd 3，ef3，a+b-2p，c+d-2q， ，将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入解 由方程根与系数关系得ab=3，cd3， ef3，a+b-2p，c+d-2q ， ，则题 3 (1996祖冲之杯) 已知 ， 是方程 的两根，不解方程，求 的值分析 待求式中 ， 是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅
4、助解决问题解 由根与系数的关系得 +=7，8， ，因 ，故 ， 记 ，令 ，从而， 题 4 (2000江苏) 已知 ， ，其中 m，n 为实数，则_.分析 根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值解 由已知等式可变形成与 ，由于 m， 的关系没有给定，故应分两种情况：当 时， ；当 时，可知 m， 是方程 的两个根，则由根与系数关系得 ， 综合，得 或 .题 5 (1996江苏) 设 的两个实根为 ， ，(1)求以 ， 为根的一元二次方程；(2)若以 ， 为根的一元二次方程仍是 ，求所有这样的一元二次方程
5、分析 根据方程根与系数关系求 和 的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于 q，可求得 p，q 的值解 (1)由根与系数关系得 +p，q， ， 所求方程是；(2)由题意得则根据七种情况的值依次得以下七个方程：， ， ， ， ， ，其中仅 无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：， ， ， ， ， 题 6 (2000全国) 设关于 x 的二次方程的两根都是整数求满足条件的所有实数k 的值分析 根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值解 原方程可化为(k-4)(k-2)0 ， 解得方程两根
6、为， ， ，消去 k，得 ， 由于 ， 都是整数，故对应的 k 的值分别为 6，3， 【方法指引】1构造对偶式法对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获得巧解这种方法称为构造对偶式法常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等2解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解(2)利用判别式法在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，不等式分析求解(3)运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中
7、消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解(4)巧换主元法若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解【综合能力训练】1ABC 的一边长为 5，另两边长恰好是方程 的两根，那么 m 的取值范围是_2设 ， 是方程 的两实根，且 ，则k 的值是 ( )(A)-3 或 1 (B)-3(C)1 (D)不小于 的一切实数3若方程 的两根为 ，它也是方程 的两个根，则 p=_4若 ab1，且有 ，及 ，则 的值是( )(A) (B) (C) (D)5在 RtABC 中，C90，若 sinA 和 sinB 是方程 的两根，求A和B 的度数及 k 的值6求满足如下条件的所有 k 值，使
8、关于 x 的方程 的根都是整数。参考答案【综合能力训练】1设另外两边长为 a、b，则 ， ，因为 a，b 是实数，所以 ，即， .由三角形两边之差小于第三边，有， ，故 m 的取值范围为 。2由根与系数关系得 ， ，而由题意得 ，解得 ， 。而当 时， ，无实数根，舍去；当 时，方程的两个实数根为 1 和 3。故选（C） 。3由 是方程 的两根得， ， .由 是方程 的两根，得， 。两式相减，得 。4原式可变形为 ，又 即 ，a， 是方程 的两根。 ，即 .故选（A） 。5由根与系数关系，得A+ B=90， 。于是有由式两边平方，得 。 由、式知 .又由、式可得 ， 是方程 的两根，则有 ，即 ，故A=B=45。6 （1）若 k=0，则方程为 ，解得 符合题意；（2）若 ，设方程的两个整数根为 ， （ ） ，则有-得 ， 。 或 ， ， ，或 ，k=1。又当 或 k=1 时，判别式均可得到 ， 或 k=1。综上所述，满足条件的所有 k 的值有三个，分别为 k=0， 或 1。
