1、韦达定理：对于一元二次方程 ，如果方程有两个实数根 ，则20()axbca12,x1212,bcxxa说明：（1）定理成立的条件 0（2）注意公式重 的负号与 b 的符号的区别12a根系关系的几大用处 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； 例如：已知方程 x2-5x+60，下列是它两根的是（ ）A 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于 x1和 x2的代数式的值，如 ； 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 求根及未知数系数：已知方程
2、的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.（后三种为主）（1）计算代数式的值例 若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 2112x12(5)x12|x解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212,07(1) 221112()()()48xxx(2) 212107(3) 121212(5)5()075(2)1972xxx(4) 12|()440)8说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ，221112()xxx122x221112()()4xx， ，212112|()42121()x等等韦达定理体现了整体
3、思想332()xx（2）构造新方程理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。例 解方程组 x+y=5xy=6 解：显然，x，y 是方程 z2-5z+60 的两根由方程解得 z 1=2,z2=3原方程组的解为 x 1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为 的两根，则 c=2由题意知k 2-4220，k4 或 k-4 为所求。【典型例题】例 1 已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值x221()04kxk(
4、1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 满足 12,x12|x分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是 ，二是 ，012x所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为 5 22121()4()03,42kkkx所以，当 时，方程两实根的积为 5k(2) 由 得知：12|当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ；0x12x 302k当 时， ，由于112011k，故 不合题意，舍去32k综上可得， 时，方程的两实根 满足 12,x12|x说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0例 2 已知 是一元二次
5、方程 的两个实数根12,x241kx(1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；k12123()()xxk若不存在，请您说明理由(2) 求使 的值为整数的实数 的整数值12xk解：(1) 假设存在实数 ，使 成立k12123()()xx 一元二次方程 的两个实数根40k ，20()(1)6k k又 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx 124k 2 2121211211()()()5()9xxxxx，但 9394kk0不存在实数 ，使 成立12123()()xx(2) 121212441x k 要使其值是整数，只需 能被 4 整除，故 ，注意到 ，k,20k要使 的值为整数
6、的实数 的整数值为 12x,35说明：(1) 存在性 问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综 合性较强，要学会对 为整数的分析方法41k一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )2(1)10kxkA B C Dk,k且2k2,1k且2若 是方程 的两个根，则 的值为( )12,x2630x12xA B C D923已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 的x方程 的根，则 等于( )22(1)30xmxmA B C D53且53且4若
7、是一元二次方程 的根，则判别式 和完全平方t2 (0)axbca24bac式 的关系是( )2()MbA B C D大小关系不能确M定5若实数 ，且 满足 ，则代数式 的a,22850,850ab1ba值为( )A B C D20且20且6如果方程 的两根相等，则 之间的关系是 2()()()0bcxab,abc_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 的两个根，则这个直2870x角三角形的斜边长是 _ 8若方程 的两根之差为 1，则 的值是 _ 2(1)30xkk9设 是方程 的两实根， 是关于 的方程12,pxq2,xx的两实根，则 = _ ， = _ 20xqq10已知实数 满足
8、 ，则 = _ ， = _ ， = _ ,abc26,9bcabc11对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可2103xx能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由12若 ，关于 的方程 有两个相等的的正实数根，求0nx21()04mnx的值m13已知关于 的一元二次方程 x2(41)20xmx(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值12,12x14已知关于 的方程 的两根是一个矩形两边的长x221()04kx(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？k(2) 当矩形的对角线长是 时，求 的值5B 组1已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 x2(1)(3)10kxkx12,x(1) 求 的取值范围；(2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不k存在，请您说明理由2已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 11求证：关于 的方x230xm x程 有实数根2(3)64k3若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于 112,xx22(1)0kx12,x(1) 求实数 的取值范围；k(2) 若 ，求 的值12x
