1、直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1从实际问题中提炼几何图形；2建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3通过代数运算，解决代数问题；4将结果“翻译”成几何结论并作答要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何
2、问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3最后要把代数结果转化成几何结论典型例题类型一：直线与圆
3、的方程的实际应用1有一种大型商品，A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A、B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【答案】圆 C 内的居民应在 A 地购物同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物圆 C 上的居民可随意选择 A、B 两地之一购物【解析】以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，如下图所示设A（5，0 ） ，则 B（5，0） 在坐标平面内任取一点 P（x，y ） ，设从 A 地运货
4、到 P 地的运费为 2a 元km，则从 B 地运货到 P 地的运费为 a 元km若 P 地居民选择在 A 地购买此商品，则 ，整理得 即点 P 在圆 的内部也就是说，圆 C 内的居民应在 A 地购物同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物圆 C 上的居民可随意选择 A、B 两地之一购物【总结升华】 利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（ 2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4 ）把代数结果还原为对实际问题的解释在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面
5、几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1 ）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2 ）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上建立适当的直角坐标系，会简化运算过程要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累【变式 1】 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=20m，拱高 OP=4m，在建造时每隔 4m 需要用一个支柱支撑，求支柱 的长度（精确到 0.01m）.【答案】3.86m【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，)，圆的半径是，那么圆的方程是：因为 P(0,4)、B(1
6、0,0)都在圆上，所以解得 ， .所以圆的方程为把 代入圆的方程得 ，所以 ,即支柱的高度约为 3.86m.【变式 2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东 300 km 处，以 40 km/h 的速度向西偏北 30方向移动.据测定，距台风中心 250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟 )【答案】90 分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系 xOy，其中圆 A 的半径为 250 km，过B(300，0)作倾斜角为 150的直线交圆于点 C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为 C 开始至 D 结
7、束，然后利用圆的有关知识进行求解 .以该市所在位置 A 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在 B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为 150方向的直线移动，其轨迹方程为 y= (x-300)(x300).该市受台风影响时，台风中心在圆 x2+y2=2502 内，设射线与圆交于 C、D ，则CA=AD=250，台风中心到达 C 点时，开始影响该市，中心移至 D 点时，影响结束，作AHCD 于 H，则AH=ABsin30=150，HB= ，CH=HD= =200，BC= -200，则该市受台风影响的起始时间 t1= 1.5(h) ，即约 90 分钟后台风影响该市，台风
8、影响的持续时间 t2= =10(h)即台风对该市的影响持续时间为 10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题) 时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程 y=1+ 表示以(0，1)为圆心，1 为半径的上半圆， 表示原点与曲线 f(x，y)=0 上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2AB 为圆的定直径，CD 为直径，自 D 作 AB 的垂线 DE，延长 ED 到 P 使|PD|=|AB|，求证：直线 CP 必过一定点【答案
9、】直线 CP 过定点（0，r）【解析】 建立适当的直角坐标系，得到直线 CP 的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法证明：以线段 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 中点为原点，建立直角坐标系，如下图设圆的方程为 x2+y2=r2，直径 AB 位于 x 轴上，动直径为 CD令 C（x 0，y 0） ，则 D（x 0，y 0） ，P （x 0，y 02r） 直线 CP 的方程为 即 (y0+r)x(y+r)x 0=0直线 CP 过直线： x=0，y+r=0 的交点（0，r） ，即直线 CP 过定点（0 ， r ） 【总结升华】 利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的
10、方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义【变式】如图，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作一圆与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆D 交于 E、F ，求证：EF 平分 CD证明：令圆 O 方程为 x2+y2=1 EF 与 CD 相交于 H，令 C（x 1，y 1） ，则可得圆 C 的方程(xx 1)+(yy 1)2=y12，即 x2+y22x 1x2y 1y+x12=0 得 2x1x+2y1y1 x 12=0 式就是直线 EF 的方程，设 CD 的中点为 H，其坐标为
11、 ，将 H代入式，得 即 H在 EF 上，EF 平分 CD类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3已知实数 x、y 满足 x2+y2+4x+3=0，求 的最大值与最小值【答案】 【解析】 如图所示，设 M（x ，y） ，则点 M 在圆 O：(x+2) 2+y2=1 上令 Q（1 ，2） ，则设 ，即 kxyk+2=0过 Q 作圆 O1 的两条切线 QA、QB，则直线 QM 夹在两切线 QA、QB 之间，k AQk QMk QB又由 O1 到直线 kxyk+2=0 的距离为 1，得 ，即 的最大值为 ，最小值为 【总结升华】 本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到
12、“形”呢？关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化本例中由方程联想得到圆，由 等联想到斜率公式由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如 t=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如 d=(xa) 2+(y
13、b) 2 形式的最值问题，可转化为到定点 P（a，b）距离的平方的最值问题【变式】设函数 和 ，已知当 x4，0时，恒有，求实数 a 的取值范围答案与解析【答案】【解析】因为 ，所以 ，即 ，分别画出 和 的草图，利用数形结合法，当直线 与半圆 相切时 取到最大值，由圆心到直线的距离为 2，求出 ，即得答案类型四：直线与圆的方程的综合应用4设圆满足：（1）截 y 轴所得的弦长为 2；（2）被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 31在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线 ：x2y=0 的距离最小的圆的方程【答案】(x1) 2+(y1) 2=2 或(x+1) 2+(y+1)2=2【解析】
14、 满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线 的距离最小这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标设圆心为 P（a，b） ，半径为 r，则 P 点到 x 轴、y 轴的距离分别是|b|和|a|由题设知：圆 P 截 y 轴所得劣弧对的圆心角为 90，故圆 P 截 x 轴所得弦长为r 2=2b2又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2，r 2=a2+1，从而 2b2a 2=1又P（a， b）到直线 x2y=0 的距离为 ，5d 2=|a 2b|2=a2+4b24ab=2(a b) 2+2b2a 2=2(ab) 2+11，当且仅当 a=b 时取等号，此时 由 ，得 或 ，r 2=2
15、故所求的圆的方程为(x1) 2+(y1) 2=2 或(x+1) 2+(y+1)2=2【总结升华】 解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化） ，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连） ，因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质） ，利用几何知识使问题得到较简捷的解决本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量） ，但不一定要解出每一个几何量，而是利
16、用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可这种解题方法就是“设而不求” （设出了但没有求出它）的思想方法 “设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法【变式】已知圆 x2+y2+x6y+m=0 与直线 x+2y3=0 相交于 P、Q 两点，点 O 为坐标原点，若 OPOQ ，求 m 的值【答案】3【解析】 由 得 代入 ，化简得：5y 2-20y+12+m=0，y 1+y6=4，设 的坐标分别为 ， ，由 可得：=0解得：析【答案与解析】 1【答案】B 【解析】 圆心 C（2，3）， ，切线长2【答案】B 【解析】如图所示，以 A 地为原点，正东方向为 x 轴正方向建立直
17、角坐标系，则 A（0，0），B（40，0）设台风的移动方向是射 OC，则射线 OC 的方程是y=x（x0），以 B 为圆心，30 为半径长的圆与射线 OC 交于 M 和 N 两点，则当台风中心在线段 MN 上移动时，B 城市处于危险区内点 B 到直线 OC 的距离是 ，则有 （千米），因此 B 城市处于危险区内的时间为 （小时）故选 B3【答案】D 【解析】直线 AB 的方程是 ， ，则当ABC 面积取最大值时，边 AB 上的高即点 C 到直线 AB 的距离 d 取最大值又圆心 M（1，0），半径 r=1，点 M 到直线的距离是 ，由圆的几何性质得 d 的最大值是 ，所以ABC 面积的最大值是
18、 故选 D4【答案】C 【解析】结合圆的几何性质，得圆心 C 到直线 的距离 d 满足 1d3所以解得17k7 或 3k13故选 C5【答案】B 【解析】圆心坐标是（3，4），半径是 5，圆心到点（3，5）的距离为 1，根据题意最短弦 BD 和最长弦（即圆的直径）AC 垂直，故最短弦的长为 ，所以四边形 ABCD 的面积为 6【答案】B 【解析】因为两条切线 xy=0 与 xy4=0 平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以 ，所以 设圆心坐标为 P（a，a），则点 P 到两条切线的距离都等于半径，所以 ， ，解得 a=1，故圆心为（1，1），所以圆的标准方程为(x1) 2+(y+1)2=2，
19、故选 B7【答案】B 【解析】设点（x，y）与圆 C1的圆心（1，1）关于直线 xy1=0 对称，则，解得 ，从而可知圆 C2的圆心为（2，2），又知其半径为 1，故所求圆 C2的方程为(x2) 2+(y+2)2=18【答案】B 【解析】因为三角形的三边长分别为 3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的 RtABC圆 O 是ABC 的内切圆，可计算得其半径为 1，过 O 点作三条直线EF、GH、MN，分别与ABC 三边平行此三条直线将ABC 分割成 6 个部分记半径为 1 的圆 O1的圆心到三条边AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d 2、d 3而圆心 O1在这 6 个区域时，
20、有（） （最多 4 个公共点）；（）（最多 2 个公共点）；（） （最多 2 个公共点）；（） （最多 4 个公共点）而圆心 O1在线段 EF、GH、MN 上时，最多有 4 个公共点，故选 B9【答案】(x+1) 2+y2=2 【解析】根据题意可知圆心坐标是（1，0），圆的半径等于 ，故所求的圆的方程是(x+1) 2+y2=210【答案】2xy=0 【解析】设所求直线方程为 y=kx，即 kxy=0由于直线 kxy=0 被圆截得的弦长等于 2，圆的半径是 1，由此得圆心到直线距离等于 ，即圆心位于直线 kxy=0上，于是有 k2=0，即 k=2，因此所求直线方程为 2xy=011【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为 r，其中 r=a0，因此圆方程是(xa) 2+(ya) 2=a2由圆过点（4，1）得(4a) 2+(1a) 2=a2，即 a210a+17=0，则该方程的两根分别是圆心 C1，C 2的横坐标，
