1、二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 1 页 共 13 页序篇线段中分类讨思想的应用 线段及端点位置的不确定性引发讨论。例 1 已知直线 AB 上一点 C，且有 CA=3AB，则线段 CA 与线段 CB 之比为_3：2_ 或_3：4_。练习：已知 A、B、C 三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm，点 M 为线段 AB 的中点，线段BC=3cm，点 N 为线段 BC 的中点，求线段 MN 的长.解析：(1)点 C 在线段 AB 上： (2)点 C 在线段 AB 的延长线上NMA BC NMA B C例 2 下列说法正确的是（ ）A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段 AB=AC 那
2、么点 A 是 BC 的中点。B、 两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。与角有关的分类讨论思想的应用 角的一边不确定性引发讨论。例 3 在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线 OM 平分AOB，ON 平分BOC，求MON 的大小。 （20或 50）CNMAOBC NMAOB练习 已知 ,过 O 作一条射线 OC，射线 OE 平分 ，射线 OD 平分 ，o60 AOCBOC求 的大小。DE（1）射线 OC 在 内 （2）射线 OC 在 外BBBAO CE DBAE DOC这两种情况下，都有o60E=32小结：（对分类讨论结论的反思）为什么结论相同？虽然
3、的大小不确定，但是所求的 与ACDE的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。三角形中分类讨论思想的应用1、三角形的形状不定需要分类讨论A BC1 C2二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 2 页 共 13 页例 4、 在ABC 中，B25，AD 是 BC 上的高，并且 ADBC，则BCA 的度数为_。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图 1，当ABC 的高在形内时，由ADBC2， 得ABDCAD ，进而可以证明ABC 为直角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图 2，当高 AD 在形外时，此时ABC 为
4、钝角三角形。 由 ADBC2，得ABDCAD 所以BCAD25BCACADADC25901152、等腰三角形的分类讨论：a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例 5、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_。练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是 cm，底边长为 cm，可得 或 解得 或xy,12,9yx.9,12yx,6yx即当腰长是 6cm
5、时，底边长是 9cm；当腰长是 8cm 时，底边长是 5cm。.5,8yxb、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例 6、已知等腰三角形的一个内角为 75则其顶角为（ ）A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或 75练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45，图 2 中顶角为 135。2、在 ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50，则底角B=_。A B D C 图 1 二次函数压轴题之分
6、类讨论思想专题 第 3 页 共 13 页3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例 7、 已知 x，y 为直角三角形两边的长，满足 xy224560，则第三边的长为_。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。例 8、如图所示，在 中， 是ABC 64AP， ， 的中AC点，过 点的直线交 于点 ，若以 为顶点的三PQ、 、 角形和以为顶点的三角形相似，则 的长为（ ）ABC、 、例 2 等腰三角形腰上的高是腰的一半，则该角的度数为.例 3 已知 BD、CE 是 ABC 的高，直线 BD、CE 相交所成的角中有一个是 50，则BAC_.例 4 菱形有一内角为 120，有一条对
7、角线为 6cm，则此菱形的边长为_cm.按图形的位置分类（如坐标系中点的位置，点与直线的位置关系）例 5 在平面直角坐标系中，点 A（2,5）B（3，1） ，C（1 ，1） ，请你再找一个点 D，使以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形.请写出点 D 的坐标为 .例 6 已知在 ABC 中，AC6 ，BC8，AB10，ABC 绕点 B 顺时针旋转至 ABC的位置，使A、B、C 三点在一条直线上，则 AA.例 7 如图，第一象限的点 A 在反比例函数的图象上，过 A 作 AB 轴，垂足为xB，连结 AO，已知 AOB 的面积为 4，(1)求反比例函数的解析式；(2)若点 A 的纵坐标为 4
8、，过点 A 的直线与 轴交于点 P(异于点 0)，且 APB 与xAOB 相似，求所有符合条件的点 P 的坐标.1. 已知 A（0,0） ，B （0,3 ）两点，在坐标平面内确定某点的坐标，使顺次连接三点所组成的图形是等腰直角三角形（请作出图形，并在图上标出各顶点的坐标）.2. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，O 为 BC 边的中点，若 P 为 DC 上一动点，连结 BP，过点 O作直线 lBP 交 AB（或 AD）于点 Q（1 ）设 DPt（0t2 ） ，直线 l 截正方形所得左侧部分图形的面积为 S，试求 S 关于 t的函数关系式（2 ）当点 Q 落在 AD（不含端点）上时，问：
9、以 O、P 、Q 为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点 P 的位置；若不能，请说明理由例、已知：点 A（-1，0） ，B(0，3)，作直线 x =1，在直线 x =1 上找一点 P,使ABP 为等腰三角形，并求出 P 点坐标。A B C D 图 2 ACBPODCBA二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 4 页 共 13 页二、学以致用变式 1 在直线 x =1 上是否存在点 Q，使ABQ 是直角三角形 ？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 . 2、已知在矩形 ABCD 中，AB=4，BC= ，O 为 BC 上一点，BO= ，如图所示，以 BC 所在直线25
10、72为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， M 为线段 OC 上的一点（1）若点 M 的坐标为（ 1，0） ，如图，以 OM 为一边作等腰OMP，使点 P 在矩形 ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；（2）若将（1）中的点 M 的坐标改为（4，0） ，其它条件不变，如图，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点 P 的坐标；（3）若将（1）中的点 M 的坐标改为（5，0） ，其它条件不变，如图，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个 （不必求出点 P 的坐标）4、如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐
11、标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB397的长为 6.二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 5 页 共 13 页求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由已知一边构造等腰三角形专题等腰三角形中的分类讨论问题 1：如图点 A（2，1） ，在坐标轴上找一点 B，使AOB 是等腰三角形， 情形 1：当 OB=AB (即 OA 为AOB 的底边)时，作 OA 的中垂线，和 x、y 轴分别交于 ， 情形 2：当 AB=AO(OA 为腰且 A
12、为顶点)时，以 A 为圆心，AO 长为半径画圆,情形 3：当 AO=OB(OA 为腰且 O 为顶点)时，以 O 为圆心，AO 长为半径画圆， 请下结论：这样的点 B 一共有 个.问题 2：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A 、B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是( )A6 B7 C8 D9问题 3：正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面内确定一点 P，使PAB、PBC、PCD、PDA 同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） ，并写出它们的坐标（看看谁能找全）二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 6 页
13、共 13 页BA课堂探究活动如图六，已知点 A（-4，-2 ）和点 B（-1，-3），以线段 AB 为底，作等腰ABC，使顶点 C 落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？以线段 AB 为腰，作等腰ABC，使顶点 C 落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？作等腰ABC，使顶点 C 落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？题后反思（注意点）： 课堂探究活动 2如图七，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A(-2,0)，与 y 轴交于点 B(0,-3)，连接 AB，在坐标轴上有一点 C，连接 AC、BC，使ABC 为等腰三角形，你能找到点 C 的位置吗？题后反思（注意点）： 课堂探究活动 3如图，已知ABC 中，B
14、=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒（1）当点 Q 在边 BC 上运动时，通过计算说明 PQ 能否把ABC 的周长平分？（2）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ 成为等腰三角形的运动时间题后反思（注意点）： 【巩固练习】如图，直线 和 相交于点 B，点 A 是直线 上的点，在直线 上寻找一点，使ABC 是1l2 1l2l等腰三角形，请画出所有符合条件的等腰三角形。二次函数压轴题之分
15、类讨论思想专题 第 7 页 共 13 页1. 如图所示，A、B 是 45 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，请在图中清晰标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置等腰三角形存在性之夹角固定、两点动3. 如图，在ABC 中，ACB=90，AC=4 ，BC=3动点 P 从点 A 出发，以每秒1 个单位长度的速度向点 C 运动；动点 Q 同时从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动的时间为 t 秒，当APQ 为等腰三角形时，t 的值为 ( )4.如图，在平面直角坐标系中，AOB 的三个顶点坐
16、标分别为 O(0，0)，A(4，2) ，B(6，-2)，动点 P 从点A 出发，以每秒 个单位长度的速度向点 O 运动，动点 Q 同时从点 O 出发，以每秒 个单位长度的速度向点 B 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动的时间为 t 秒，当OPQ为等腰三角形时，t 的值为( )4.2. 如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C已知点 B 的坐标为（8，0 ） ，若在抛物线的对称轴上存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，则点 Q 的坐标为( )二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 8 页 共 13 页1.如图，在ABC 中，
17、ABC=90，AB=6 ，BC=8 动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AC向点 C 运动；同时，动点 Q 从点 C 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CB 向点 B 运动当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒，当CPQ 为等腰三角形时，t 的值为( )4.如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，3 ） ，B（6，0） 连接 AB，E 为线段 OB 上一点，以 OE 为边在第一象限内作正方形 OEFG，其顶点 F 恰好落在线段 AB 上将正方形 OEFG 沿 OB 向右平移，记平移中的正方形 OEFG 为正方形 DEFG，正方形 DEFG
18、的边 EF 与 AB 交于点 M，DG 所在的直线与 AB 交于点N，连接 DM设平移的距离为 t ，当DMN 是等腰三角形时，t 的值为( )4.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且四边形 OABC是矩形，OA=5，OC=3已知抛物线 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于点 D，连接 BD点P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 DB 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以同样的速度沿二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 9 页 共 13 页BAD 匀速运动，当点 P 到达点 B 时，P，Q 同时停止运动设运动的时间为 t
19、秒，当 DPQ 是等腰三角形时，t 的值为( )直角三角形存在性问题1. 如图，已知点 在直线 上，P 是 x 轴上一点，若ABP 是直角三角形，则点 P 的坐标为( )解题思路：理解题意，整合信息将 A，B 两点坐标以及函数解析式都标注在图上分析特征有序思考，设计方案分析定点，动点：ABP 中， A，B 是定点，P 是动点；当定点 A 或 B 为直角顶点时，由于 AB 是定直线，可以利用 求解；当动点 P 为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或 求解根据方案作出图形，有序操作如图当BAP=90 时，过点 A 作 ，交 x 轴于点 ，如图当ABP=90 时，过点 B 作 ，交 x 轴于点
20、，如图当APB=90 时，过点 B 作 BDx 轴于点 D二次函数压轴题之分类讨论思想专题 第 10 页 共 13 页结果检验，总结作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍2.如图，已知 A（1 ，0） ，B（ 0，3） ，P 是直线 x=2 上一点，若ABP 是以 AB 为斜边的直角三角形，则点 P 的坐标为( )A. B. C. D.3.如图，已知 A(0，2)，B(4，0)，点 C 在 x 轴上，CD x 轴，交线段 AB 于点 D，且点 D 不与 A，B 两点重合，将ABO 沿 CD 折叠，使点 B 落在 x 轴上的点 E 处设点 C 的横坐标为 x，则当 ADE 为直角三角形时，x 的值为 ( )4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的两邻边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，顶点 B 的坐标为（5，2 ） ，D 是点 A 右侧的 x 轴上一点，E 是 y 轴负半轴上一点，且 OE=2AD=2t连接 BD，BE，DE，当BDE 是直角三角形时， t 的值为( )
