1、数学 习题课四 种“ 上法 ” 的 “ 性价比分析 ” 浙江省象山县第二中学 吕增锋 315731 浙江省 宁波市电大象山分校 邵兴专 315700 摘要： 数学习题课一般有几种上法、各有什么优势、如何选择合适的上法等 问题一直牵扯着一线教师的神经。本文 借鉴 商品选购中“性价比分析” 的表述方式，对习题课常用的四种上法 的“投入”和“产出”进行全面的比对 ，从而为 广大教师选择习题课的教法提供有效的参考依据。 关键字： 习题课 性价比分析 数学 习题课是 以 讲解例 题为主 要手段，以提高学 生解题能力为 主要 目的的课型。鉴于习题课的特殊性，习题课如何上？怎样的习题课才算是“好课”？一直存
2、在着较大的 争议 。 如果把一堂数学复习课比作一件商品的话，我们就 需要 思考“投入”和“回报”的问题，即 花费的时间、精力与教学 成效问题。 笔者 列举了当前习题课流行的四种“上法”，结合课堂教学案例， 从“性价比”的角度 谈谈对此 的看法。 1 上法 1：例题 讲解 ，练习 强化 上课 流程： 备课量 ： 案例展示： 抛物线焦点弦的性质 问题： 如图 1 所示， 过抛物线 2 2 ( 0)x py p的焦点的一条直线和此抛 物线相交于点 A、 B，两个交点的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ，过 A 点作准线的垂线，垂足为 C； 过 B 点作准线的垂线，垂足为
3、 D。 （ 1）求证： 212xx p ； （ 2）求证： 212 4pyy； （ 3）证明： A、 O、 D 和 C、 O、 B 三点分别共线； （ 4） 求证：以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切 ； yxO FABCD图 1 呈现问题 讲解问题 强化练习（ 5）求证：以 CD 为直径的圆和 直线 AB 相切。 教师先 把上述问题抛给学生，让学生先尝试解答；然后教师进行讲解 ，分析解题思路，归纳解题方法；最后，再 另外设置相关的例题，进行强化训练，从而使学生掌握相应解题技巧和方法。 性价比分析 ： “备课等同于选题，上课简化为讲题” 是此 法的 一大亮 点。 并且 ， 此法 具有 操作
4、 简单 ， 短期 效果明显的优势， 因此 深受 广大 教师的青睐 ，现实中多数复习课也均按此法进行 ， 此法 堪称传统 习题 课的典范 。 从长远看， 此法存在着 极大的弊端 ，那就是教师占 绝对 的 主导地位，灌输 成为教学的主要手段， 从而 失去了对学生进行数学思维的培养与探究的意义。 具体表现在： 学生对习题的学习和解决停留在被动等待上，没有时间去多问几个问题，更没 有心思去质疑习题的对错及教师讲解方法的优劣，很少有学生喜欢在例题解决后对习题进行小结和反思 ； 有的教师为了节省教学时间总是力争在尽可能少的时间内讲解尽可能多的问题，认为习题讲得越多越好，不关注学生对所学知识的掌握程度和能力
5、培养的效果。 如果习题课全部按此法 操作 ， 很容 易使 学生 的思维固化在 机械模仿 的阶段 ， 从 而 丧失 “触类旁通”，“灵活驾驭”的能力。 总体评价： 此法 的优点是 备课成本 低 ，操作简单，短期效果明显 ， 单纯的解题的强化训练时 可以采用 此法。 但从长远看，此法不利于 学习的潜力 的发挥和 思维层次 的提升，因此，此法不应该成为 习题课的常态 。 2 上法 2：教师 引导 ， 发现 新知 上课流程： 备课量 ： 案例展示： 从几何角度审视向量数量积 引例 1 在 Rt ABC 中， 090C ， AB=13， AC=12， O 是 AB 的中点 ，则AO BC_ 引例 2 A
6、BC 中， AB=13， AC=12， O 是 BC 的中点 ，则 AO BC_ 引例 3 在 ABC 中， AB=13， AC=12， O 是 ABC的 外心 ，则 AO BC_ AB CDO图 3 呈现问题 发现性质 应用性质教师先 呈现 引例 1， 由于图形比较特殊，学生 不仅轻易的得到正确答案 ， 而且 还找到 了 三 种方法 。第一种是利用 AOBC 的几何意义，即转化为向量的投影问题；第二种通过建立直角坐标系，利用坐标运算求解 ； 第三种，借助基向量的思想，把 ,AOBC 都用 ,ABAC 表示进行运算。 然后 ， 教师再呈现引例 2， 图形不是很特殊，在教师的引导下，学生还是利用
7、引例 1 的三种方法得到了正确的答案。发现两个问题的答案完全一致，由此 猜想 AOBC 的值 跟三角形的形状无关，只跟“ O 点是中点”有关。最后，教师呈现引例 3，显然 此题难度较大，学生很难想到解法。于是 ， 教师 给出了如图 3 所示的图形，学生终于明白此题跟引例 2并无实质 区别。经过进一步 观察 、 分析 ，最后学生 得到 只要“ O 点位于 ABC 垂直平分线上， AOBC 的值不变 ”的性质 。得到这个关键的结论后，教师又设置了几道例题，让学生应用这个性质解题。 性价比分析： “在 探究中 解题 ，在解题中 收获” 是 此 法的 一大亮点。 教师 首先要花比较多的时间在 例题 的
8、选择和归类上；然后，还要把例题按照 由易到难，由特殊到一般的 排列顺序逐步呈现给学生；最后，通过一题多解、 一题多变、 多题一解、多解归一 等 教学策略， 层层递进，抽丝剥茧，引导学生发现问题的本 质 ，从而使学生产生豁然开朗的感觉 。 我们常说要“抛砖引玉”， 在 此法中 ， 精心设置的例题 就是那“砖”，其目的是引出学生“思维”这块“玉”来 ，从而实 现了复 “练一题，学一法，会一类，通一片” 的 效果 。 当然，此法也有不足之处。 比如， 教师依旧掌控着课堂，学生只是在教师精心布置的“局”中进行有限的探究和发现，学生的学习潜能还是没有得到完全释放 ；教师在教学中过于 注重不同 解 题方
9、法的罗列而忽视了对解题方法选择 ，从而导致学生面对具体的题目可能会不知所措。 总体评价： 此法的优点是 探究 味较浓，学生的思维得到了一定程度的激发，比起上法 1 更体现教学的“技术”含量，更有效果。教师在平时对有“文章可做”的题目、性质、结论多留一份“心眼”，为此法的教学积累丰富的素材。 3 上法 3：自主探索， 发现 新知 上课流程： 备课量 ： yxOABF图 2 合作交流 发现性质 探索性质案例展示： 抛物线焦点弦性质的再认识 问题： 如图 2 所示， 设 AB 为 抛物线 2 2 ( 0)x py p的焦点 弦，且 A、 B 两点的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x
10、y x y 。 F 为抛物线的焦点，直线 AB 与 x 轴非负半轴夹角为 ，连结 OA、 OB，请问你能得到哪些与抛物线 的焦点弦 AB 有关的性质和结论？ 教师以小组的形式让学生结合问题展开讨论， 时间大约是 10 分钟； 然后 ，各小组展示讨论成果： 12|AB x x p ； 1 1 2| | | |AF BF p； 22|sinpAB ； 2122124pxxy y p ， 学生 讲述这些 结论 的 发现过程 、 板演 证明 过程 ； 最后 ，教师引导学生探索这些结论之 间的联系，提炼解题方法 ，开展解题反思。 比如，结论虽然可以用代数法证明，但是用几何法更为快捷，于是教师 强调 :“
11、挖掘图形中的几何性质是圆锥曲线问题化繁为简的有效方法。 ” 性价比分析： “ 把课堂还该给学生，让学生成为学习的主人”是此法的最大亮点。 学生学习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程 ， 这个过程是学习主体的一种自主行为。 通过 小组讨论 的形式为学生的自主学习创造了机会， 这不仅打破了课堂上学生个体学习之间的隔阂，而且通过师生、生生的讨论交流，学生的思维得到碰撞 ； 学生在讨论 活动中探索求知、发现创新， 提高了学习 的效率 。 当然 ，此法虽好，若要驾驭此法却非易事。首先，学生合作意识和习惯的养成并非是一朝一夕的事情。 受 传统教学的影响，“各自为营” 、“单打独斗” 的学习方式 在
12、学生心中早已根深蒂固。面对一群没有合作经历的学生，即使给他们讨论的机会， 恐怕 他们也不知道如何是好。这就是 很多 教师为什么不敢放手让学生讨论或者课堂讨论流于形式的重要原因之一 ； 其次，对讨论过程的 掌控绝非易事。学生讨论的结果很可能并非教师所预望 或者超出 课堂 教学 的 范围， 这 对教师的课堂驾驭能力是一个 极大 挑战。 总体评价：此法打破了传统习题课教学“教师讲，学生练”的 僵局，代表着 习题课教学的新方向。但此法的开展 并非易事， 需要 较长时间的前期准备。 4 上法 4： 策略 引领， 认知共鸣 上课流程： 备课量 ： 案例展示： 圆锥曲线的解题策略 问题（ 2013 浙江理）
13、： 如图 4,点)1,0( P是椭圆)0(1: 22221 babyaxC的一个顶点 , 1C的长轴是圆4: 222 yxC的直径 。 1,ll是过点 P且互相垂直的两条直线 ,其中 1l交圆 2C于两点 , 2l交椭圆1C于另一点 D （ 1） 求椭圆 1C的方程 ； （ 2） 求 ABD面积取最大值时直线 1l的方程 。 教师 先 指出 在圆锥曲线学习中 困扰学生 的问题 “关系复杂，运算繁琐”， 进 而 引出对解题策略的思考 。 然后， 教师 展示解题 流程图（ 如图5 所示 ），以上述问题为载体，讲解流程图中每个步骤的操作方法及注意事项。 最后， 按照教师提供的解题策略，学生顺利解决了
14、 “难题”，感受到了此解题策略的 优越性 。 性价比分析： “站在数学思想方法的高度， 进行解题策略的体验式学习”是此法的一大亮点。教师针对学生解题中存在的困难， 费尽心思， 潜心研究； 并直接 把研究成果呈现给学生，帮助学生用最短的时间 破解 解 题中的困难，形成有效的解题策略。在所有类型习题课的教学中，此法备课时间最长，技术含量最高 。 当然 ，此法的不足之处也非常明显。 那就是“解题策略”是教师的研究成果，而非师生或者学生共同探究的结果，学生只是解题策略的验证者，这就很容易导致“教”和“学”的脱节。教师认为有效的解题策略，或者认为很容易理解掌握的解题策略，在学生眼里或许不那么管用，或者很
15、难掌握。还有关键的一点，解题策略应该是长期渗透 、不断改进 的结果，而 很难 指望一节课就 让学生 熟练掌握。 总体评价： 教师以一个研究者的身份 进行 习题课教学， 无论从解题技巧看，yxOABDPl1l2图 4 呈现问题 应用策略展示策略图 5 还是从思维层次看都是难得的“精品”。但打造“精品”不易，也不是所有的习题课都适合做“精品”。 总之，习题课教学的孰优孰劣，仁者见仁智者见智，以上仅代表笔者个人的观点。但有一点 是可以肯定的，那就是“教无定法”，习题课教学要根据教学内容，教学要求灵活选择合适的教法。 作者信息 姓名：吕增锋 单位：浙江省象山县第二中学 邮编： 315731 E-MAIL： 联系电话： 13065881216
