求轨迹方程的常用方法.doc

1、求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的

2、函数关系 xf（t） ，yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程

3、例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足C求点 C 的轨迹。,sin45isnB【变式】：已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2：一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，且BM=a，AM=b，求 AB 中点 M 的轨迹方程？【变式】: 动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即） ，求动点 P 的轨迹方程？2|PBA三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数

4、方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MAB，aAbyaxB)02(12轨迹方程。【变式】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90 ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 五、用交轨法求轨迹方程BQRAPoyx例 5.已知

5、椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的21xy1(0)Aa2()直线交椭圆于 P1、 P2，求 A1P1与 A2P2交点 M 的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程例 6. 已知椭圆 ，12yx（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A练习1.在 中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹A方程是_.2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 _ .1myx1yx3.已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则

6、弦的中点 M 的轨迹方程是 _4.当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨迹方程为mx221_。5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为50_。6:求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_OA130， 、 ，7.抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点xy42C 在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。8.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。9.过原点作直线 l 和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方642xy程。高二

7、（上）求轨迹方程的常用方法 答案例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足C求点 C 的轨迹。,sin45isnB【解析】由 可知 ，即 ，满足椭,si 15cab10|BA圆的定义。令椭圆方程为 ，则 ，则轨迹方程为12yax 34, b（ ，图形为椭圆（不含左，右顶点） 。1925yx)5【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式 1

8、】: 1:已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： ， 。动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的圆12yx 0862xy心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMOD。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个

9、端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三),(yx角形 AOB 中，OM= ,21aAB22,yxayxM 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下1列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的

10、有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】: 动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即） ，求动点 P 的轨迹方程？2|PBA【解答】|PA|= 22)3(|,)3( yxByx代入 得|PBA 22 4)3()( yx化简得（x5） 2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法

11、求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k 作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ，（k）)(221 ll的 方 程 为则 直 线由Ax)0k(的 坐 标 为轴 交 点与，Byl 42 的 坐 标 为轴

12、 交 点与M 为 AB 的中点，)(124为 参 数kyx消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB 为直角三角形的几何特性：|ABP解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ，l 1l 2，PAB 为直角三角形|21|P由 直 角 三 角 形 的 性 质222 )()4()(

13、yxyx化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析 3：设 M（x，y） ，由已知 l1l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M（x，y） ，M 为 AB 中点，A（2x，0） ，B（0，2y） 。又 l1，l 2过点 P（2，4） ，且 l1l 2PAPB，从而 kPAkPB1，0yxkBPA而0522 xy， 化 简 ， 得注意到 l1x 轴时，l 2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4）中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方

14、程 x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】1） 解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了kPAkPB1， 这些等量关系。 。|21|ABP用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3】过圆 O：x 2 +y2= 4 外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 B

15、C 的中点，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即(x 2 +y2)+(x ) 2 +y2 =16化简得：（x2） 2+ y2 =4.由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1） 。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（x,y） ，B（x 1,y1）,C （x 2,y2）直线 AB 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 8k 2x +16k24=0.(*),由点 M 为 BC 的中点，所以 x= .(1)

16、, 又 OMBC ，所以214kk= .(2)由方程（1 ） （2）xy消去 k 得（x2） 2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.31所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 ABaAbyaxB)02(12轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关

17、点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。【解析】设动点 M 的坐标为（x，y） ，而设 B 点坐标为（x 0，y 0）则由 M 为线段 AB 中点，可得yayax2200即点 B 坐标可表为（2x2a，2y）上在 椭 圆点又 1)(20byaxyx，ba )(12220从 而 有14)(22byaxM，的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB =90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom1

18、26t:/.j 【解析】： 设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 Rt ABP中，|AR|=|PR| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在RtOAR 中，|AR| 2=|AO|2|OR |2=36( x2+y2)又|AR|=|PR|= )4(y所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 Q(x

19、,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,20,1y代入方程 x2+y24x 10=0, 得10=0)(整理得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 五、用交轨法求轨迹方程 2ab六、用点差法求轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yxM， 2yxN， MNyxR， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有2xx，02121

20、21 yyx将代入得 21x（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y21xyBQRAPoyx 0342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意，22yx0416y04163为所求yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 0yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部21xy 022yx分）练习 1【正确解答】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为)0,5.(,)5(1625xyx2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 .01myx0【解答】:直接消去参数 即得 (交轨法): 02yx3:已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1

21、,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是 .【解答】:令 M 点的坐标为( ,则 A 的坐标为(2 ,代入圆的方程里面得:)yx)041)2(yx4:当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨迹方程为yxmx221【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。 【解答】：抛物线方程可化为 xy1254它的顶点坐标为 xmy1254，消去参数 m 得： y34故所求动点的轨迹方程为 。0xy5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为x5【分析】：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，意味着点 M0到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M0