1、 图 1 踏花归来马蹄香 -2017 浙江卷第 21 题“别解”赏析与思考 李承法 （浙江省开化中学 324300） 手机 15068959136 邮箱 2017 浙江卷第 21 题 与 抛物线 有关的最 (极 )值问题 ，这道题若是不加以思考，直接 计算 ，则是计算量大，容易出错，而若是将 思考量增大 ，则会减少计算，注重将几何问题本质提炼，并 与相关知识的联系 (如 平面几何， 向量、函数、方程、不等式等 )合理转化，就会有精彩 的解答 2017 浙江卷第 21 题： 如图，已知抛物线 2xy ， 点 )41,21(A ，)49,23(B ， 抛物线上的点 ),( yxP 2321 x
2、， 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （ I）求直线 AP 斜率的取值范围； （ II）求 PA PQ 的最大值 解：（）设直线 AP 的斜率为 k ，则 k =2 1- 14122xxx， 因为 1322x ，所以直线 AP 斜率的取值 范围是 1,1 以下第（）小题由于解法固定且简单，将不再另外求解以下为第 （ II） 小题两种视角 -几何视角和代数视角下各种解法探析 1 几何视角下解法探析 解法一 ：设 AB 的中点为 C ，则 )45,21(C ， AQBQ ，点 Q 在 以 AB 为直径的圆周上如图 1，且 22)4149()2123( 22 AB 连结 PC 并延长交圆
3、O 于 ED, ，则 PA PQ PD PE ( )( )PC R R PC 222 2R PC PC ，其中 2R 为 圆 C 的半径又 22 2215()24P C x x ， 故 2 42332 2 1 6P A P Q P D P E P C x x x 令 423 3 1 3( ) ( )2 1 6 2 2f x x x x x ， 图 2 图 3 则 32( ) 4 3 1 ( 1 ) ( 2 1 )f x x x x x ， 令 0)( xf 得 1x ， 当 121 x 时， 0)( xf ， )(xf 在 1,21上单调递增；当 231 x 时， 0)( xf ，)(xf 在
4、 23,1 上单调递减因此，当 1x 时， )(xf 取得最大值 27(1) 16f 所以 PA PQ的最大值 为 2716 评注 ：此解法运用了平面几何中圆的相关性质：直径所对的圆周角为直角；圆中相交弦定理等知识，优化思维，简化计算，最后同前面解法一样构造函数，结合导数求出问题的最值 变式 ：将条件“ 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ”改为：“ 过点 B 作直线 BQ 与直线 AP相交于点 Q ，且 60AQB ”，其它条件不变，求 PA PQ 的最大值 简解：同前一样分析知，点 Q 在 ABQ 的外接圆 C 上，且满足 60AQB ，则 120ACB ，此时 C 的半径3626
5、0s in 2 BCR ， PEPDPQPA ，以下解法同前，（略去） 解法二 ：设 ),( 2ttP ， 23,21t， 221 1 3 9( , ) , ,2 4 2 4A P t t P B t t ， APBQ ， 221 3 1 9c o s ( ) ( ) ( )2 2 4 4A P P Q A P P B B P Q A P P B t t t t 42332 16t t t 4 2 21 3 3( 2 1 ) ( 2 1 )2 2 1 6t t t t 2 2 21 2 7 2 7( 1 ) ( 1 )2 1 6 1 6tt ，当且仅当 1t 时等号成立 PA PQ 的最大值
6、为 2716 评注 ：此法利用向量的 数量积的几何意义的逆用，即 PA PQ 恰好等于 AP 的模与PB 在 AP 方向上的投影 PQ 的积，即 PA PQ APPB ；另外，由此得到了 PA PQ关于 t 的四次函数式后，又运用常见的配方法，解决了高次函数最值问题此解法新颖，思维深刻，几何背景搭台，代数唱戏，实有创新 2 代数视角下的解析 解法三： 考虑参数方程设 ),( 200 xxP ，直线 AP 的倾斜角为 ，则直线 AP 的参数方 程为 sincos00 tyy txx （ t 为参数）， AQBQ ，点 Q 在以 AB 为直径的圆上，而以AB 为直径的圆方程为： 2215( ) (
7、 ) 224xy ，将直线的参数方程代入圆的方程得 2 2 4 20 0 0 0 01 5 3 32 ( ) c o s ( ) s i n 02 4 2 1 6t x x t x x x ， PA 21ttPQ 420 0 0332 16x x x ，设 )(0xf 420 0 0332 16x x x ，)2321( 0 x 以下利用导数求最大值的过程则同上，故略去 评注 ：此法最为简单，线段长度之积，自然联想参数方程使高考中解答这道题会更简捷利索些 解法四： （）联立直线 AP 与 BQ 的方程 11 0,2493 0,42kx y kx ky k 解得点 Q 的横坐标是 22 432(
8、 1)Q kkx k ， 因为由（）， 21xk ，所以 21kx ， PA = 2 11 ( )2kx= 21 ( 1)kk， PQ = 21 ( )Qk x x= 22( 1)( 1)1kkk ， 所以 PA 3( 1)( 1)PQ k k ， 令 3( ) ( 1)( 1)f k k k ，因为2( ) ( 4 ) ( 1 )f k k k ，所以 ()fk 在区间 21,1 上单调递增， 1,21 上单调递减， 因此当 k =12 时， |PA| |PQ| 取得最大值 2716 评注 ：此解法是充分运用坐标，方程思想，但解法显得繁，计算量大，容易出现差错 解法五 ：设 ),( 2ttP
9、 ， 23,21t，直线 AP 的斜率为 k ，则 k =2 1- 14122ttt，设直线 AP 的方程为 )(21(2 txtty ，即 11()22y t x t ， APBQ ， 若21t， )41,21(P ，此时 1 PQAP ， 1 PQAP ； 若21t，直线 BQ 的斜率ttkBQ 21 221 1 ，直线 BQ 的方程为)23(21 249 xty ，即 4921 321 2 txty ，将直线 BQ 与直线 AP 方程联立，解得点 Q 的横坐标是 224 2 0 32 (4 4 5)Q ttx ， 2 2 4 224 2 0 3 1 1 3 3( ) ( ) 1 ( )2
10、 2 2 1 62 ( 4 4 5 )ttP A P Q t t t t t ttt ，接下来可用导数工具来最大值设 4233() 2 1 6f t t t t ，则3 2 2( ) 4 3 1 ( 1 ) ( 2 1 )f t t t t t ， 23,21t ，令 0)( f 得 1t ， 当 121 t 时， 0)( tf ， )(tf 在 1,21上 单调递增；当 231 t 时， 0)( tf ， )(tf在 23,1上单调递减因此，当 1t 时， )(tf 取得最大值 27(1) 16f 所以 PA PQ 的最大值 为 2716 评注 ：此解法运用坐标思想，利用了直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，是常用方法之一。 综上，解析几何问题的本质是把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质，图形问题代数化是解析几何的本质。函数 建模能为解答最值 试题增添了一抹亮色解析几何的关键在于找到最好的方法解决问题， 借助 数形结合的思想方法 ， 在平面几何得出的结论就要大胆应用 ，就能 找到简洁的方法 解析几何的优点在于数形结合而又动态的处理问题，其解题思路有很强的程序性，但是，盲目操作往往会带 来烦琐的讨论或繁杂的计算
