1、1数学压轴题 二次函数动点问题1.如图，抛物线 y ax 2 bx c(a 0)与 x轴交于 A( 3，0)、 B两点，与 y轴相交于点C(0， )当 x 4和 x 2时，二次函数 y ax 2 bx c(a 0)的函数值 y相等，连3结 AC、 BC（1）求实数 a， b， c的值；（2）若点 M、 N同时从 B点出发，均以每秒 1个单位长度的速度分别沿 BA、 BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 t秒时，连结 MN，将 BMN沿 MN翻折， B点恰好落在 AC边上的 P处，求 t的值及点 P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得
2、以 B， N， Q为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得 cbacba2416309解得 a ， b ， c 332（2）由（1）知 y x 2 x ，令 y 0，得 x 2 x 0333解得 x1 3， x21 A( 3，0)， B(1，0)又 C(0， )， OA3， OB1， OC ，3 AB4， BC2tan ACO ， ACO60， CAO30OA同理，可求得 CBO60， BCO30， ACB90 ABC是直角三角形又 BM BN t， BMN是等边三角形 BNM60， PNM60， PNC602Rt PNCRt ABC，
3、NCPBA由题意知 PN BN t， NC BC BN2 t， t24 t OM BM OB 1 3434如图 1，过点 P作 PH x轴于 H，则 PH PMsin60 3423MH PMcos60 OH OM MH 13421点 P的坐标为 ( 1， )（3）存在由（2）知 ABC是直角三角形，若 BNQ与 ABC相似，则 BNQ也是直角三角形二次函数 y x 2 x 的图象的对称轴为 x 1点 P在对称轴上33 PN x轴， PN对称轴又 QN PN， PN BN， QN BN BNQ不存在以点 Q为直角顶点的情形如图 2，过点 N作 QN对称轴于 Q，连结 BQ，则 BNQ是以点 N为
4、直角顶点的直角三角形，且 QN PN， MNQ30 PNQ30， QN o30csP249383 tan60 ， BNQ34982BCA3BNQCA当 BNQ以点 N为直角顶点时， BNQ与 ABC不相似如图 3，延长 NM交对称轴于点 Q，连结 BQ，则 BMQ120 AMP60， AMQ BMN60， PMQ120 BMQ PMQ，又 PM BM， QM QM BMQ PMQ， BQM PQM30 BNM60， QBN90 CAO30， ACB90 BNQ ABC当 BNQ以点 B为直角顶点时， BNQ ABC设对称轴与 x轴的交点为 D DMQ DMP60， DM DM，Rt DMQRt
5、 DMP DQ PD，点 Q与点 P关于 x轴对称点 Q的坐标为 ( 1， )32综合得，在抛物线的对称轴上存在点 Q( 1， )，使得以 B， N， Q为顶点的三角32形与 ABC相似2.如图，已知抛物线 y ax 2 bx3（ a0）与 x轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使 CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、 CE，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时 E点
6、的坐标4解：（1）由题意得 解得 039 ba21 ba所求抛物线的解析式为 y x 22 x3；（2）存在符合条件的点 P，其坐标为 P(1， )或 P(1， )00或 P(1，6)或 P(1， )；35（3）解法一：过点 E作 EF x轴于点 F，设 E(m， m 22 m3)（3 a 0）则 EF m 22 m3， BF m3， OF m S 四边形 BOCE S BEF S 梯形 FOCE BFEF (EF OC)OF2121 (m3)( m 22 m3) ( m 22 m6)( m)21 m 2 m (m )2393863当 m 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 此时 y
7、 ( )22( )3 此时 E点的坐标为( ， )341523415解法二：过点 E作 EF x轴于点 F，设 E(x， y)（3 x 0）5则 S 四边形 BOCE S BEF S 梯形 FOCE BFEF (EF OC)OF2121 (3 x) y (3 y)( x) (y x) ( x 23 x3)213 (x )23863当 x 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 2863此时 y ( )22( )3 此时 E点的坐标为( ， )3415234153.如图，已知抛物线 y ax 2 bx c与 x轴交于 A、 B两点，与 y轴交于点 C其中点 A在 x轴的负半轴上，点 C在
8、y轴的负半轴上，线段 OA、 OC的长（ OA OC）是方程 x 25 x40 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x1（1）求 A、 B、 C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点 D是线段 AB上的一个动点（与点 A、 B不重合），过点 D作 DE BC交 AC于点E，连结 CD，设 BD的长为 m， CDE的面积为 S，求 S与 m的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围 S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D点坐标；若不存在，请说明理由解：（1） OA、 OC的长是方程 x 25 x40 的两个根， OA OC OA1， OC4点 A在 x轴的负半轴，点 C在 y轴的
9、负半轴 A（1，0）， C（0，4）抛物线 y ax 2 bx c的对称轴为 x1由对称性可得 B点坐标为（3，0） A、 B、 C三点的坐标分别是： A（1，0）， B（3，0）， C（0，4）（2）点 C（0，4）在抛物线 y ax 2 bx c图象上， c 4 4分6将 A（1，0）， B（3，0）代入 y ax 2 bx4 得解得0439 ba384 ba此抛物线的解析式为 y x 2 x4（3） BD m， AD4 m在 Rt BOC中， BC 2 OB 2 OC 23 24 225， BC5 DE BC， ADE ABC ，即 DE BCDEAE4m 4520m 过点 E作 EF
10、AB于点 F，则 sin EDFsin CBA BCO5 ， EF DE 4 mDF545420 S S CDE S ADC S ADE (4 m)4 (4 m)(4 m) m 22 m21211 (m2) 22（0 m4）1 0 当 m2 时， S有最大值 22此时 OD OB BD321此时 D点坐标为（1，0）4.如图，抛物线 y a(x3)( x1)与 x轴相交于 A、 B两点（点 A在点 B右侧），过点 A的直线交抛物线于另一点 C，点 C的坐标为(2，6)（1）求 a的值及直线 AC的函数关系式；（2） P是线段 AC上一动点，过点 P作 y轴的平行线，交抛物线于点 M，交 x轴于
11、点 N求线段 PM长度的最大值；7在抛物线上是否存在这样的点 M，使得 CMP与 APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意得 6 a(23)(21)， a2抛物线的解析式为 y 2( x3)( x1)，即 y 2 x 24 x6令2( x3)( x1)0，得 x13， x21点 A在点 B右侧， A(1，0)， B(3，0)设直线 AC的函数关系式为 y kx b，把 A(1，0)、 C(2，6)代入，得 解得620 bk2 k直线 AC的函数关系式为 y 2 x2（2）设 P点的横坐标为 m(2 m 1)，则 P(m
12、， 2 m2)， M(m， 2 m 24 m6) PM2 m 24 m6(2 m2)2 m 22 m42( m )219当 m 时，线段 PM长度的最大值为 19存在. M1(0，6), M2( ， )4185)如图 1，当 M为直角顶点时，连结 CM，则 CM PM， CMP ANP点 C(2，6)，点 M的纵坐标为 6，代入 y 2 x 24 x6得2 x 24 x66， x2（舍去）或 x0 M1(0，6)（此时点 M在 y轴上，即抛物线与 y轴的交点，此时直线 MN与 y轴重合，点 N与原点 O重合）)如图 2，当 C为直角顶点时，设 M(m， 2 m 24 m6)(2 m 1)8过 C作 CH MN于 H，连结 CM，设直线 AC与 y轴相交于点 D则 CMP NAP又 HMC CMP， NAP OAD， HMC OAD OCHAM C(2，6)， CH m2， MH2 m 24 m662 m 24 m在 y 2 x2 中，令 x0，得 y2 D(0，2)， OD2 14整理得 4m 29 m20，解得 m2（舍去）或 m 1当 m 时，2 m 24 m6( )24( )6 M2( ， )1414854185
