1、导数在研究函数中的应用知识梳理一 函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数 )(xfy在某个区间可导，如果 f)(x0，则 )(xf为增函数；如果 f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有 f0)(x，则 为常数；2、对于可导函数 )(f来说， 是 )(f在某个区间上为增函数的充分非必要条件， f0)(是 )(f在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：求函数 f(x)的导数 f( x).令 f(x)0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令 f(x)0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围
2、是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ()f；若函数单调递减，则 ()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解二 函数极大值、极小值1、极大值：如果 cx是函数 f(x)在某个开区间 ),(vu上的最大值点，即不等式 )(xfc 对一切),(vux成立，就说函数 f(x)在 处取到极大值 cf，并称 为函数 f(x)的一个极大值点， 为 f(x)的一个极大值。 2、极小值：如果 cx是函数 f(x)在某个开区间 ),(vu上的最小值点，即不等式 )(xfc 对一切),(vux成立，就说函数 f(x)在 处取到极小值 cf，并称 为函数 f(x)的一
3、个极小值点， 为 f(x)的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若 0)(cf，则 cx叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别 f(c)是极大、极小值的方法:若 0x满足 0)(cf，且在 c 的两侧 )(f的导数异号，则 c 是)(xf的极值点， 是极值，并且如果 )(f在 c 两侧满足 “左正右负” ，则 c 是 x的极大值点， )(f是极大值；如果 )(xf在 c 两侧满足“左负右正” ，则 c 是 )(xf的极小值点， )(0f是极小值5、求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导
4、数 f( x) (2)求 f(x)的驻点，即求方程 f( x)=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f( x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f(x)在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间a，b上连续的函数 f )(x在a，b上必有最大值与最小值。求闭区间 ,ba上连续的函数 )(xf的最大值和最小值的思想方法和步骤：（1）求函数 )(x在(a，b)内的极值；（2）求函数 在区间端点的值 (a)
5、、(b)；（3）将函数 )(x的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函数 )0(23adcxbay有极值 导函数 cbxaxf23)(的判别式cb12403.3.1 利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一 求函数的单调区间例 1 已知函数 y=x+ 1，试讨论出此函数的单调区间.分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断解答：y=(x+ 1)=1 2x= 2)1(1x令 2)(0. 解得 x1 或 x1.y=x+ 1的单调增区间是( ，1) 和(1，+).令 2)(x0，解得 1x0 或 0x1.y=x+ 1的单调减区间是( 1，0)和(0，1) 奎
6、 屯王 新 敞新 疆点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数 f(x)的导数 f(x). ，然后解不等式 f (x)0 ，得递增区间，解不等式 f(x)0，得递减区间 .题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围例 2. 若函数 321()(1)fxax在区间 (1,4)内为减函数，在区间 (6,)上为增函数，试求实数a的取值范围分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ()0fx；若函数单调递减，则 ()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解解答：函数求导得 2()1()(1)fxaxa，令 0f得 或 ，因为函数在区间 (1,4)
7、内为减函数，所以当 (,4)时， ()0fx又因为在函数区间 6上为增函数，所以当 6x时， ， 4a， 57即实数 的取值范围5，7点评：已知单调区间求参数 a 的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题例 3：已知函数 f（x ）=2ax 21x,x（0,1 ，若 f（x）在 x（0,1上是增函数，求 a 的取值范围；解: 由已知可得 f（x ）=2a+ 3,f （x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即 a 31x, x（0,1.a1.当 a=1 时，f （x ）=2+ 32x对 x（0,1）也有 f（ x）0，满足 f（x）在（0,1上为增函数，a1.评述:求参数的取值范围，
8、凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.点击双基1.函数 y=x+cosx 在（- ，+ ）内是（ ）A 增函数 B 减函数 C 有增有减 D 不能确定解：因为 y=1-sinx0 恒成立，故选 A2.函数 axf2)(3的单调减区间是 （ D ）A （ ), B. ),( C ， )0,32( D.以上都不对。 解： f（x）=3 2+20 恒成立，不存在单调减区间，故选 D3.函数 xef)( ( )1ba,则 ( )A )(ff B. )(bfaf C bfaf D. ,f大小关系不能确定解： f（x）=- xe2= x10,所以 cosx- 21; 单调增区间为(0,
9、32)5.如果函数 y= 21+lnx-ax 在定义域为增函数，则 a 的取值范围是 解：定义域为（0， )， y=x+ x1-a0,即 ax+ x1在定义域（0， )上恒成立，又 x+ x1最小值为 2,所以a23.3.2 函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一 函数极值的求法例 1 已知 32()fxabxc在 1与 23x时，都取得极值(1) 求 ,ab的值；(2)若 3(1)2f，求 ()fx的单调区间和极值；分析：可导函数在 0点取到极值时， 0)(xf；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。解：（1）f (x)3x 22a x b0由题设，x1， x 为 f (x)0 的解23
10、 a1 ， 1( ) a ，b2 23 23 b3 23 12（2 ） f (x)x 3 x22 xc，由 f (1)1 2 c ，c112 12 32f (x)x 3 x22 x112x （， ）23 （ ，1 ）23 （1，）f (x) f (x)的递增区间为（， ） ，及（1，） ，递减区间为（ ，1） 23 23当 x 时， f (x)有极大值，f ( ) ；当 x1 时，f (x)有极小值，f (1) 23 23 4927 12评析：列表求单调区间和极值不容易出错。题型二 例 2 设函数 32()fxabxc的图象如图所示，且与 0y在原点相切，若函数的极小值为 4， （1）求,ab
11、c的值；（2）求函数的递减区间分析;从图上可得 0x是函数的极大值点，函数的图象经过 （0，0 ）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出 ,abc的值。解：（1）函数的图象经过（ 0，0）点 c=0，又图象与 x 轴相切于（0 ，0）点， y=3x2+2ax+b 0=302+2a0+b，得 b=0 y=x3+ax2， =3x2+2ax当 a时， 0y，当 a32时， 0y当 x= 32时，函数有极小值 4 )()(23a，得 a=3（2 ） y=3x2 6x0，解得 0x 2 递减区间是（0，2）评析：求出 ,abc的值后，利用导数就可求出单调区间。备选题例 3：已知函数 21)(xf+
12、lnx, 求 )(xf的极值.解;因为 f (x)=- 323x, 令 f (x)=0，则 x= 2注意函数定义域为（0， ） ，所以驻点是 x= ,当 x(0, 2)时 f (x)0, f为增函数，所以 x= 2是极小值点， )(xf的极小值为 f( 2)= 1(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数 y=1+3x-x 3有 （ ）A极大值 1，极小值-1， B。极小值-2，极大值 2C极大值 3 ， 极小值 2， D。极小值-1，极大值 3解： y=-3 x+3,令 y=0 得 x= -1 或 x=1，易得 x= -1 是极小值点，x=1.是极大值点，故选 D，2
13、、函数 y=3+mx+x 3有极值的充要条件是 ( )A m0 B m0, 2,00 ,1()fx+ 0 -f 极大 因此 f(0)必为最大值,f(0)=5,得 b=5,(2)165,()5,(1)2fafaf32,();fx若 a0,同理可得 f(0)为最小值 , f(0)=-11, 得 b=-11,(2)165,()5,(2)1fafaffmax,1ff32fxx评析：函数的单调性要借助导数的符号，故要对 a 的符号进行讨论。备选题点击双基1、 函数 34xy在区间 2,上的最小值为（ ）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 B 头htp:/w.xjkygcom126t
14、:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0解： 33 4,0,4,;1,0y令 当 时 当 时得 1|,xy极 小 值 而端点的函数值 23|7,|2xxy，得 min，故选 D2、函数 y=1+3xx 3 有（ ）A.极小值2,极大值 2 B.极小值2,极大值 3C.极小值1,极大值 1 D.极小值1,极大值 3解： y=33 x2=3（1+ x） （1 x）.令 y=0 得 x1=1, x2=1.当 x1 时, y0,函数 y=1+3x x3是减函数;当1 x1 时, y0,函数 y=1+3x x3是增函数;当
15、x1 时, y0,函数 y=1+3x x3是减函数.当x=1 时,函数 y=1+3x x3有极小值1;当 x=1 时,函数 y=1+3x x3有极大值 3，故选 D3、 下列结论正确的是（ ）A若 0是 )(f在 ,ba上的极大值点，则 )(0f是 (f在 ,ba上的最大值B若 x是 在 上的极大值点，则 x是 在 上的最大值C若 0是 )(f在 ,上唯一的极大值点，则 )(0f是 (xf在 ,上的最大值D若 x是 在 ba上唯一的极大值点，且 在 ,ba上无极小值点，则 )(0f是 (f在 ,上的最大值解：故选 D4、 函数 ),23xy的最小值为_ 。解：20yx在 ,)恒成立， ),23
16、xy为增函数，故最小值为 275、 函数 2cosyx在区间 0,2上的最大值是 。解： 1sin,6，比较 ,处的函数值，得 max36y课外作业一选择题1、 32()fx在区间 1,上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解： 2()36(2)fxx ，令 ()0fx可得 x0 或 2（2 舍去） ，当1 x 0 时， ()fx0，当0 x 1 时， f0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值为 2，故选 C2、 已 知 f（ x） =2x3 6x2+m（ m 为 常 数 ） 在 2， 2 上 有 最 大 值 3， 则 m 值是（ ）A.37 B.29 C.5 D.3解： 2()10,fxx或 x，故 max()(0)ff，故选 D3、函数 af3在 )1,(内有最小值，则 的取值范围是（ ）A 10a B 0 C a D 210a解： 2()3,01,fxa，故选 B 4、函数 f(x)=x2-4x+1 在1，5的最大值和最小值分别为 （ ）A、 f(1)，f(5) B、f(2)，f(5) C、f(1)，f(2) D、f(5)，f(2)解：由二次函数可得，故选 D5、方程 019623xx的实根的个数是（ ）A 3 B 2 C 1 D 0解：设 f(x)= 0963xx , 9123)(xxf
