1、3.3 联合态密度和临界点 上面我们从微观跃迁过程出发给出了理想晶体由 直接跃迁（或竖直跃迁）决定的吸收光谱 的一般表达式。材料吸收光谱的具体形式显然依赖于材料具体的能带结构。但是，不同 材料的 光谱存在一个 共有的特点： 实验发现晶体吸收光谱中常会出现一些明显的结构，或拐点， （如图 3.3-1 给出的例子） 这些结构产生的物理原因和拐点附近吸收光谱的 行为 ？ 图 3.3-1 带间直接跃迁决定的吸收光谱示意图 3.3.1 联合态密度和临界点 （ joint or combined density of states and critical point） 考查计算 或 2 的公式 ： 02
2、2 2322 vv,022 cvc k kce BZnce d k p E k E km 积分的被积函数中的矩阵元 2vck kp 除了在一些特殊的 k 值（由于对称性）变为零，一般来说是 k 的平滑函数。 即 或 2 中一些拐点，不会是由于矩阵元对 k的依赖关系。 在这些 拐点附近（ 很小 ） ，这矩阵元可 近似 地看作常数，移出积分号。这一近似的含义是， 在这小的能量范围里， 满足能量守恒的每个跃迁元过程都有相同的几率 ， 因而总的跃迁速率与可能的跃迁数目成比例 。式中的积分变为： 3,22c v c vBZdkJ E k E k ， （ 3.3-1） - 给 定光 场 下，波矢和自旋相同
3、，能量间隔为 ，分属两个带的 状态对 （在这里，一个在价带，一个在导带）的 数密度 ，称之为 联合态密度 。 下面的讨论将显示晶体吸收光谱中出现的拐点正是与这联合态密度相联系的。 为明显看出这一点，我们把 k 空间的积分 cvJ 作一改写。 k 空间 的体积元可表示为 cvEEEd k d s k d s k ， （ 3.3-2） 其中cvEEEds 为 曲面 cvE k E k E上的面元矢量 ， ds 为面元大小， k 为波矢增量，它在面元法线方向的投影为 k 。 利用 d f k f k f k ，也即 k df f 。 cvJ 就可表示成： 3.3.2222c v c vBZcvBZ
4、cvJ E d s k E k E k Edfd s E k E k EE k E k （ 3.3-3） 上式中 () cvf k E k E k E ， 对 df 积分后变为 3.22 cvcv EEE cvBZdsJEE k E k （ 3.3-4） (对比 态密度 NE ： k 空间中，等能面 ()E k E 与 E dE之间的状态数 /dE，它等于这两个 k 空间等能面所夹的壳层体积与 ()gk 之积 /dE： 3( ) ( )22( ) ( )E k E E k Ekkd s d sN E d E g k d E d EE k E k ) 由 cvJE的这一表达式可见， 积分被积函数
5、可能在某些特定的 k 值， 0cvE k E k ，被积函数发散，出现奇点。称之为 临界点 （ critical point）。该点对应的 带间能量差 0cvE k E k E称为 临界点能量 。 在这一能量值，联合态密度 cvJE呈现一个拐点。 由 对称性 可能 有多个同类临界点 下面 限于讨论单个临界点的情形 由于 临界能附近 cvJE的异常变化 是由 k 空间临界点附近的一个小范围内状态对数目随 E 的变化决定的，这范围以外的区域对 cvJE积分的贡献是常数，我们可以限于讨论临界点附近区域的贡献。 将 cvE k E k在临界点附近展开，取到二次项 （由临界点条 件，一次项显然为零）：
6、22 220 2 yx zc v x y zx y zkk kE k E k Em m m （ 3.3-5） 其中 0E 为临界点处的 cvE k E k值（ 临界点能量） ， ,x y zk k k 都是 沿主轴相对临界点 的值，展开式系数的大小由 ,x y zm m m 的倒数表示，系数的符号则由,x y z 来表示，即它们可能的取值为 1 。 按 ,x y z 的正或负，临界点可分为四类： 极小值点 0M ：对于它， 1x y z ， cvE k E k 在此奇点取极小值； 鞍点（ saddle point） 1M ：对于它，两个 i 取正，一个取负； 鞍点（ saddle point）
7、 2M ：对于它，一个 i 取 正，两个取负； 极大值点 3M ： 1x y z ， cvE k E k在奇点取极大值。 联合态密度 在这几种 临界点相应的临界点能量附近的行为 ? 讨论中会利用 函数的性质： ibiia xgxg x f x d xd f x d x ， （ 3.3-6） 其中 ix 是方程 0fx 在区间 ,ab 中的第 i 个根。 以下为方便起见，引进新坐标 122jjjqkm ，其中 ,j x y z 。 于是： 22 2202 2 202yx zc v x y zx y zx x y y z zkk kE k E k Em m mE q q q 进而 ， （ 3.3-
8、1） 式 3,22c v c vBZdkJ E k E k 改写为 1232 2 2 203 3222 x y zc v x x y y z zm m mJ E d q E q q q E （ 3.3-7） 先讨论 0M 点，对这一情形，采用球坐标较方便，这时： 12322 203 322 42x y zcvm m mJ E q d q E q E （ 3.3-8） 上式中的积分可利用前面提到的 函数的性质 (3.3-6)来计算。 ibiia xgxg x f x d xd f x d x 方程 20( ) 0f x E q E 仅当 EE 时，有一正实数根 1200q E E ，而且 20
9、2df dq d E q E dq q ， 由此我们得到： 1232203 3012721 2 1 2003224222x y zcvx y zm m m qJEqm m mE E A E Eh （ 3.3-9） 而在 0EE 时，方程 20 0E q E 无根，这时 0cvJE 。 对鞍点 1M ，用柱坐标较方 便。在 ,xyqq 平面的极坐标为 ,q 。 12322 2 203 312322203 32222222x y zc v x y zx y zzzm m mJ E d q E q q q Em m mq d q d q q q E E （ 3.3-10） 先对 zq 积分，得 01
10、2323 30221 222 zx y zcvq zm m mJ E q d qq （ 3.3-11） 当 2 0 0q E E 时，方程 22 0 0zq q E E 有两个根 200zq q E E ， 代入上式，得： 12723 22002 x y zcvm m m q d q q d qJ E Ah q E E q E E （ 3.3-12） 上 面公 式中的常数 127232 x y zm m mAh 。 （ 3.3-12）式中的积分有两种情形。 一种是 0EE ， 则恒有 2 0 0q E E 。 考察：在临界能附近（ 0EE 很小）， cvJE 随 E 的变化。 这时：可以考察一
11、个适当半径 R 的区域内的积分，只要在这区域内，所作的展开（ 3.3-5） 成立，而且 2 0R E E 。 因为在整个积分区间（布里渊区）中，半径 R的柱体以外的区域里的积分，贡献一个常数项。于是 （ 3.3-12）变为： 20 0200120012002RcvqdqJ E C Aq E EC A E E R E EA E EC AR A E ERB A E E E E （ 3.3-13） 其中，常数 B 与能带的具体结构有关， 0EE 表示与 120EE 相比为无穷小量。 0EE 的情形， 要 2 0 0q E E ，就需 120q E E ，因而有： 1202020002RcvEEqdq
12、J E C A C A E E Rq E EA E EC A R B E ER （ 3.3-14） 这里也同样的选用了半径 R足够大的柱体区域为积分区间。 对鞍点 2M 和极大点 3M 情形，联合态密度行为的讨论非常类似鞍点 1M 和极小点 0M 的情形，此处不再赘述。四种临界点附近，联合态密度的行为都列在图表 3.3-1 中。 上面的讨论关注的是临界点附近小范围里光吸收的急剧变化规律（拐点），因而吸收光谱表达式 （ 3.2-12）中变化相对缓慢的跃迁矩阵元 2vck kp 可以看作常数提到积分号外。要得到完整的吸收光谱就需要考 虑跃迁矩阵元的大小随光子能量 （或电子能之差） 的变化。显然，这
13、一矩阵元依赖于具体的能带结构。人们已经对某些具体材料计算了它们的能带结构和相应的吸收光谱，得到与实验相符的结果。（ 见图 3.3-1） 表 3.1-1 三维体系联合态密度在临界点附近的行为 （其中 127 2 32x y zA m m m h, B 是一个与能带结构有关的常数） 临界点 联合态密度 图示 M0点 (极点 ) 001 / 200()()( ) ( )oB E E E EJEB A E E E E E E M1点 (鞍点 ) 1 / 20 0 000( ) ( )() ()B A E E E E E EJE B E E E E M2点 (鞍点 ) 001 / 200()()( )
14、( )oB E E E EJEB A E E E E E E M3点 (极点 ) 1 / 20 0 000( ) ( )() ()B A E E E E E EJE B E E E E 3.3.2 直接带材料的光学吸收边和带隙 绝缘晶体由于禁带的存在，当光子能量小于帶隙时，不能被它吸收。当光子能量大于或等于帶隙时，吸收过程就变得十分明显。对直接带材料尤其如此，在这一能量附近吸收系数变化剧烈，可从 5 6 110 10 cm 往长波方向很快降到几个 1cm 。这种带间跃迁的吸收强度徒然变化的区域称为 吸收边 ，它涉及的能量范围只有十分之几电子伏。 测量和研究帶隙的基础。 我们知道， 直接带材料的
15、 价带极大（顶）与导带极小（底）在 k 空间的 同一位置 0k ，这正是前面讨论的临界点 0M 。 为简单起见， 设价带和导带极值附近都是各向同性的，抛物线型结构，即那里载子有效质量为一标量。它们 分别用 *vm 和 *cm表示。于是，竖直跃迁的能量与波矢的关系为： 2 2 2 2 2 2* * *2 2 2c v G Gc v Jk k kE k E k E Em m m （ 3.3-15） 其中由关系式* * *1 1 1c v Jm m m 定义的 *Jm 为 约化有效质量 ，它相当于上一小节 3.3.1 中的 *J x y zm m m m 。 这时联合态密度为 12721203327
16、 2 *12322x y zcvJGm m mJ E E EhmEEh （ 3.3-16） 为计算吸收系数 或 2 ，还要计算矩阵元 *, e xp( ) , e xp, , , ,irf i iirc f f v i ic f v i i c f v iafc v i c vc k k e v ku k r ik r e u k r ik r du k r u k r d i k u k r u k r dM i k M kk+k（ 3.3-17） 光的波矢 0k ， ,fick vkuu相应的波矢差不多相同， ifkk ，但属于不同的能带，几乎正交，因而上式中第二项 的值很小。因而 当 acvM 不为零 ，也即为 允许跃迁 时，第二项比第一项小得多，于是 22 1 22 ac v GME （ 3.3-18） 而当 acvM 为零，跃迁禁戒 时，跃迁速率则由第二项决定。于是 22 3 22 fc v GME （ 3.3-19） 上式利用了（ 3.3-15）式 1222 Ji f Gmk k E 以上两式 常用来从实验上判断跃迁是允许的还是禁戒的，并由实验确定帶隙的大小。 （由关系式 02 nc 又可得 ）
