1、- 1 -二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为一般式 y=ax2+bx+c (a0)时1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律. 将抛物线向上平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移 n 个单位,常数项上加 n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为 y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位, 常数项上减去 n，即解析式由 y=ax2+bx+c 变为 y
2、=ax2+bx+c-n2.向左或向右平移时,解析式的变化规律.将抛物线向左平移 m 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y= a(x+m)2+b(x+m)+c将抛物线向右平移 m 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y= a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向左平移 m 个单位,自变量上减去 m，即解析式由y=ax2+bx+c 变为 y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移 m 个单位,自变量上加上 m,即解析式由 y=ax2+bx+c 变为 y=a(x-m)2+b(x-m)+c3.将抛物线向左平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移 n 个
3、单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n将抛物线向左平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y= a(x+m)2+b(x+m)+c-n将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y= a(x-m)2+b(x-m)+c+n将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y= a(x-m)2+b(x-m)+c-n二.当解析式为顶点式 y=a(x-h)2+k（a0）时1.向上或向下平移时，解析式的变化
4、规律.将抛物线向上平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x-h)2+k+n将抛物线向下平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x-h)2+k-n将抛物线向上平移 n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=a(x-h)2+k+n将抛物线向下平移 n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=a(x-h)2+k-n比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位，括号外加 n，同理可推出向下平移n 个单位括
5、号外减去 n.即抛物线解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=a（x+m-h) 2+k-n2.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向左平移 m 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x-h+m)2+k将抛物线向右平移 m 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a(x-h-m)2+k将抛物线向左平移 m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h-m,k)，所以抛物线解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=ax-(h-m) 2+k=a（x-h+m) 2+k- 2 -将抛物线向右平移 m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k
6、)，所以抛物线解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=ax-(h+m) 2+k=a（x-h-m) 2+k两解析式比较可得出图像向左平移 m 个单位，括号内加上 m，即抛物线解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=a（x-h+m) 2+k；同理可推出向右平移 m 个单位括号内减去m，即抛物线解析式由 y=a(x-h)2+k 变为 y=a（x-h-m) 2+k综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项3.将抛物线向左平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后,得到的新
7、抛物线的解析式为 y=a（x-h+m) 2+k+n将抛物线向左平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a（x-h+m) 2+k-n将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a（x-h-m) 2+k+n将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为 y=a（x-h-m) 2+k-n二次函数的平移练习题1.把抛物线 y=-x2向左平移一个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. y=-（x-1） 2+3
8、 B. y=-（x+1） 2+3 C. y=-（x-1） 2-3 D. y=-（x+1） 2-32.抛物线 y=x2+bx+c 图像向右平 移 2 个单位再向下平移 3 个单位 ，所得图像的 解析式为 y=x2-2x-3，则 b、c 的值为（ ） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数 y=x2+x 的图像向右平移 a（a0）个单位，得到函数 y=x2-3x+2 的图像，则 a 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.已知二次函数 y=x2-bx+1（-1b1） ，当 b 从-1 逐渐变化到 1 的过程中，它
9、所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线 C：y=x 2+3x-10，将抛物线 C 平移得到抛物线 C.若两条抛物线 C、C关于直线 x=1 对称，则下列平移方法正确的是（ ）A. 将抛物线 C 向右平移 2.5 个单位 B.将抛物线 C 向右平移 3 个单位 C.将抛物线 C 向右平移 5 个单位 D.将抛物线 C 向右平移 6 个单位6.把二次函数 y=- x2-x+3 用配方法化成 y=a(x-h
10、)2+k 的形式 41A. y=- (x-2)2+2 B. y= (x-2)2+4 C. y=- (x+2)2+4 D. y= ( x- )2+3 4117.在平面直角坐标系中，将二次函数 y=2x2的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为Ay=2x 2-2 By=2x 2+2 Cy=2(x-2) 2 Dy=2(x+2) 2 8.将抛物线 y=2x2向下平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）Ay=2(x+1) 2 By=2(x-1) 2 Cy=2x 2+1 Dy=2x 2-19.将函数 y=x2+x 的图象向右平移 a(a0)个单位，得到函数 y=x2-x+2 的图象，则 a 的值为（
11、）A1 B2 C3 D4 10.把抛物线 y=-2x2向右平移 2 个单位，然后向上平移 5 个单位 ， 则平移后抛物线的解析式为（ ）A. y=-2（x-2） 2+5 B. y=-2（x+2） 2+5 C. y=-2（x-2） 2-5 D. y=-2（x+2） 2-511.在平面直角坐标系中，先将抛物线 y=x2+x-2 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）Ay=-x 2-x+2 By=-x 2+x-2 C. y=-x2+x+2 Dy=x 2+x+2- 3 -12.在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2+2x+3
12、绕着它与 y 轴的交点旋转 1800，所得抛物线的解析式是（ ）Ay=-（x+1） 2+2 By=-（x-1） 2+4 Cy=-（x-1） 2+2 Dy=-（x+1） 2+413.要得到二次函数 y=-x2+2x-2 的图象，需将 y=-x2的图象（ ） A向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位C向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位14.若二次函数 y=(x-m)2-1，当 xl 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm115.如图，点 A
13、，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4） ，抛物线 y=a（x-m）2+n 的顶点在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧） ，点 C 的横坐标最小值为-3，则点 D 的横坐标最大值为（ ）A13 B7 C5 D816.抛物线 y=ax2向左平移 5 个单位,再向下移动 2 个单位得到抛物线 17.二次函数 y=-2（x+3） 2-1 由 y=-2（x-1） 2+1 向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到18.抛物线 y=3（x+2） 2-3 可由抛物线 y=3（x+2） 2+2 向 平移 个单位得到19.将抛物线 y= （x-3） 2+5 向右平移 3 个单位
14、，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线是 320.把抛物线 y=-（x-1） 2-2 是由抛物线 y=-（x+2） 2-3 向 平移 个单位，再向_平移_个单位得到21.把抛物线 yax 2+bx+c 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象的解析式是 yx 2-3x+5，则 a+b+c=_22.抛物线 yx 2-5x+4 的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 23.已知二次函数的图像过点（0，3） ，图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 y 轴，向下平移 1 个单位后与 x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 24.已知 a+b+c=0，a0，把抛物
15、线 y=ax2+bx+c 向下平移 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式25.已 知 二 次 函 数 y -x2-4x-5. 指 出 这 个 二 次 函 数 图 象 的 开 口 方 向 、 对 称 轴 和 顶 点 坐 标 ； 把 这个 二 次 函 数 的 图 象 上 、 下 平 移 ， 使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y -x 的 图 象 上 ， 求 此 时 二 次 函 数 的解 析 式 ； 把 这 个 二 次 函 数 的 图 象 左 、 右 平 移 ， 使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y -x 的 图
16、 象 上 ，求 此 时 二 次 函 数 的 解 析 式 。26.把抛物线 y2x 2向左平移 p 个单位，向上平移 q 个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)，(4，9)，求 p、q的值- 4 -27.拋物线 y1ax 26x8 与直线 y23x 相交于 A（1，m） ， （1）求 y1的解析式；（2）拋物线 y1经过怎样的平移可以就可以得到拋物线 yax 2 28.已知函数 y=2x2，y=2（x-1） 2，y=2（x-1） 2+1(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y=2x2得
17、到抛物线 y=2（x-1） 2和抛物线 y=2（x-1） 2+1；(4)试讨论函数 y=2（x-1） 2+1 的性质 29.已知二次函数 yax 2bxc(a0)的图像 C1经过 A(-1，0)，B(2，0)，顶点为 P。若二次函数的图像 C1向右平移 2 个单位恰好经过点(3，-2)，求平移后的图像解析式。直线 y2x 先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位得到直线与图像 C1恰好有一个交点，求 a 的值；若将二次函数图像 C1向上平移 b 个单位得到图像C2，C 1和 C2的组合图像与 x 轴恰有 3 个交点；若将二次函数图像 C1向右平移 b 个单位得到图像 C3，C 1和 C3的组合图像与 x 轴也恰有 3 个交点，求 a 的值30.已知二次函数 y=- x2+ x 的图象如图.（1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的43对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴，y 轴的交点分别为 A、B、C 三点，若ACB=90 0，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作D，试判断直线 CM 与D 的位置关系，并说明理由
