1、极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数 在区间（ a,b）上只有一个极大（小）值点 ,方程 (f(x)=m)的=() 0 ()=0解分别为 且 0, 0左（2 ） 则称函数 f(x)在区间（a,b）上极值点 偏移；1+22 0 0谷偏左）（3 ） 若 则 即函数 f(x)在区间上（a,b ）极大值点 左偏;（即(1)(202)1+22 0 0峰偏左）（4 ） 若 则 即函数 f(x)在区间上（a,b ）极小值点 右偏;（即(1)(202)1+22 ）f(a+x)(f(x)f(2a-x)(0,)f(x) 在 (0,a)递减,在(a,2a)
2、 递增 ,且 f(a-x)( ,( =0, );1+2=2 (1)=(2) (1)+(2) (1+22)=02)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则 则1,2(0,2)12 (1)=(2),及1+22(1+22)F(0)=0，从而得到 x0 时 f(x+ )f(）上 0 0)1.（2016 年全国 I 高考）已知函数 有两个零点. 设 x1，x 2 是的两个零点，证明： +x21 时，f(x)g(x)()如果 且 证明12,x12(),fxf12x证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) xe令 F(x)=f(x)-g(x),即 2()()xF于是 2()1
3、xFxe当 x1 时，2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在-0,Fxe又 所 以1,+)是增函数。又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 1时 ， 有)证明：（1）若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。根据（1） （2）得 1212(),.xx不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而)fg2()f-)2f(x)2- .因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区间（-)1f(x)2-2xx，1）内事增函数，所以 ,即 2.12123
4、. 已知函数 xaxf )(ln)( （I）讨论 )(xf的单调性；（II）设 0a，证明：当 ax10时， )1()(xaff；（III）若函数 )(fy的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f（x 0）0解：（I） ()(,)f的 定 义 域 为 1(21)(2().xafxa（i）若 0,),0,)afxf则 所 以 在 单调增加.（ii）若 1,(,fa则 由 得 且当1(0,)(0,()0.xfxfxa 时 当 时所以 (),f在 单调增加，在 1(,)a单调减少. （II）设函数 1()(),gxffxa则32()lnl,.11xxgaxa当
5、0,()0,(),()0xgg时 而 所 以 .故当 1a时 ， 1()().fxfa 8 分（III）由（ I）可得，当 0,yfx时 函 数 的图像与 x 轴至多有一个交点，故 0a，从而 ()fx的最大值为 1(),0.ffa且不妨设 121212(,),0,.ABxx则由（II）得 111()()(0.fxffaa从而12210, .xxaa于 是由（I）知， 0().fx 4已知函数 (m 若 f(x)有两个极值点 且 求证:()=122 ) 1,2 125. 已知函数 = (a 若 f(x)有两个不同零点 且 其极值点为 求证: () ) 1,2 12 1+21) 1,2 1210
6、. 已知函数 = f( 求证:() (0)1)=(2)=0且 1013. 已知函数 = (a() 2 R)令 g(x)在(0,3)单调递增求 a 范围;()=()+,当 a=2 时,函数 h(x)=f(x)-mx 的图象与轴交于 A( B( 且 又 是 h(x)导1,0)2,0)00,0且 +=1 :(1+2)1时讨论 ()的 单调 性，并确定其极 值若对 都有 f(x) 求 k 范围;,2 0) 讨论 ()的 单调 性 ;f(x)的极值点为 若存在 且 求证: ; 1,2(0,+)12 1+2216. 已知函数 (a );()=21+(1), 讨论 ()的 单调 性 ; 若 f(x) 存在两
7、个极值点 ， 证明： ;1,2 1(2)117. 已知函数 与 g(x)=3- 在(1,1)处有相同切线；()=+若 y=2(x+n) 与 y=f(x)图象有两个交点 ,求 n 范围；若 两个极值点 ， 证明： ；()=3(2)+2()2()有 1,2 1 ) (1, )上存在 求证：+ (1)=(2),1+22 22已知函数 , (a ；()=122 )若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值若函数 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；如果函数 g(x)=f(x)-(a- 恰有两个不同的极值点 证明: ;12)2 1,2, 1+22 024. 已知函数 ()=+1+ (,为 常数 )，在 =1处 的切 线 方程 为 +2=0若 使得对 上 f(x) 恒成立求实数 a 的取值范围；1,1 12,2 322+2若 g(x)=f(x)-ax- 有两个不同零点 求证： ;2+1 (a) 1,2, 12225已知函数 ()=2+2;当 时讨论 y=f(x)在 ）上的单调性；3 12,+y=f(x)有两个不同零点 且 求证：1,2, 12 (1+223 )0
