1、 杨辉三角的规律以及定理李博洋 摘要 杨辉三角中的一些规律关键词 杨辉三角 幂 二项式引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源” ，现在简称为“杨辉三角” ，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。 内容1 二项式定理与 杨 辉 三 角与 杨 辉 三 角 联 系 最 紧 密 的 是 二 项 式 乘 方 展 开 式 的 系 数 规 律 ， 即 二 项 式 定 理 。杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) 2 的展开式来探讨。由上式得出： (a+b) 2a 2+2
2、ab+b2 此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b) 3 的展开式是什么呢？答案为：a 3+3a2b+3ab2+b3 由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b) 4 的展开式。展开式为：a 4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因 此 可 得 出
3、二 项 式 定 理 的 公 式 为 ： (a+b)n=C(n,0)an*b0+C(n,1)a(n-1)*b1+.+C(n,r)a(n-r)*br.+C(n,n)a0*bn 因 此 ， 二 项 式 定 理 与 杨 辉 三 角 形 是 一 对 天 然 的 数 形 趣 遇 ， 它 把 数 形 结 合 带 进 了计 算 数 学 。 求 二 项 式 展 开 式 系 数 的 问 题 ， 实 际 上 是 一 种 组 合 数 的 计 算 问 题 。 用 系 数通 项 公 式 来 计 算 ， 称 为 “式 算 ”； 用 杨 辉 三 角 形 来 计 算 ， 称 作 “图 算 ”。2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨
4、辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的数是 1，2，4，8，16，32，64，刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5，6，次幂，即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4)
5、n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第 7 行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第 7 行之前的数字相加得 1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第 7 行之前的数字相加得 1+3+6+10=20把斜行(4)中第 7 行之前的数字相加得 1+4+10=15把斜行(5)中第 7 行之前的数字相加得 1+5=6把斜行(6)中第 7 行之前的数字相加得 1将上面得到的数字与杨辉三角中的第 7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。11 1 1 2 1
6、1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可得：杨辉三角中 n 行中的第 i 个数是 i-1 中前 n-1 个数之和，即第 n 行的数分别为 1、(1)中第 n 行之前的数字之和、(2)中第 n 行之前的数字之和、(3)中第 n 行之前的数字之和、(4)中第 n 行之前的数字之和、(n-3)中第 n 行之前的数字之和、1。总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：1、每 个 数 等 于 它 上 方 两 数 之 和 。 2、每 行 数 字 左 右 对 称 ， 由 1 开 始 逐 渐 变 大 。 3、第 n 行 的 数 字 有 n+1
7、 项 。 4、第 n 行 数 字 和 为 2(n-1)。 （ 2 的 (n-1)次 方 ） 5(a+b)n 的 展 开 式 中 的 各 项 系 数 依 次 对 应 杨 辉 三 角 的 第 (n+1)行 中 的 每一 项 。 1 6、第 n 行 的 第 m 个 数 和 第 n-m 个 数 相 等 ， 即 C(n,m)=C(n,n-m)， 这 是 组合 数 性 质 上面的式子是什么意思？首先 cin1 中的 n+1，i 的意思是从 n+1 个相同物体中选出i 个物体有多少种选法。杨 辉 ， 字 谦 光 ， 南 宋 时 期 杭 州 人 。 在 他 1261 年 所 著 的 详 解 九 章 算 法 一 书 中 ，辑 录 了 如 上 所 示 的 三 角 形 数 表 ， 称 之 为 “开 方 作 法 本 源 ”图 ， 并 说 明 此 表 引 自 11 世纪 前 半 贾 宪 的 释 锁 算 术 ， 并 绘 画 了 “古 法 七 乘 方 图 ”。 故 此 ， 杨 辉 三 角 又 被 称 为“贾 宪 三 角 ”。 在 我 国 古 老 的 文 明 中 ， 人 们 发 现 了 很 多 有 趣 的 规 律 ， 而 杨 辉 三 角 就 是其 中 一 个 。
