1、将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. “诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为“将军饮马“的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴
2、对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。一六大模型1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B ，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B ，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。3.如图，点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使PAB 的周长最小 .4.如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B 。使四边形
3、PAQB 的周长最小。5.如图，点 A 是MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小6. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小常见问题首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。 （不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，
4、而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。2. 对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。3. 所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（4，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，
5、请说明理由【分析】 （1）设交点式为 y=a（x1） （x4） ，然后把 C 点坐标代入求出 a= ，于是得到抛物线解析式为 y= x2 x+3；（2）先确定抛物线的对称轴为直线 x= ，连结 BC 交直线 x= 于点 P，如图，利用对称性得到 PA=PB，所以 PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到 PC+PA 最短，于是可判断此时四边形 PAOC 的周长最小，然后计算出 BC=5，再计算 OC+OA+BC 即可【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x1） （x4） ，把 C（0，3）代入得 a（1）（4）=3，解得 a= ，所以抛物线解析式为 y= （x1） （x4）
6、 ，即 y= x2 x+3；（2）存在因为 A（1，0） 、B（4，0） ，所以抛物线的对称轴为直线 x= ，连结 BC 交直线 x= 于点 P，如图，则 PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时 PC+PA 最短，所以此时四边形 PAOC 的周长最小，因为 BC= =5，所以四边形 PAOC 周长的最小值为 3+1+5=9【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
7、式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题2 （2015上城区一模）设抛物线 y= （x+1） （x2）与 x 轴交于 A、C 两点（点 A在点 C 的左边） ，与 y 轴交于点 B（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）已知点 D 在坐标平面内，ABD 是顶角为 120的等腰三角形，求点 D 的坐标；（3）若点 P、Q 位于抛物线的对称轴上，且 PQ= ，求四边形 ABQP 周长的最小值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）令 x=0，求出与 y 轴的坐标；令 y=0，求出与 x 轴的坐标；（2）分三种情况讨论：当
8、AB 为底时，若点 D 在 AB 上方；若点 D 在 AB 下方；当 AB 为腰时，A 为顶点时，当 AB 为腰时，A 为顶点时；仔细解答即可（3）当 AP+BQ 最小时，四边形 ABQP 的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答【解答】解：（1）当 x=0 时，y= ；当 y=0 时，x=1 或 x=2；则 A（1，0） ，B（0， ） ，C（2，0） ；（2）如图，RtABO 中，OA=1，OB= ，AB=2，ABO=30，BAO=60，ABD 是顶角为 120的等腰三角形当 AB 为底时，若点 D 在 AB 上方，由ABO=BAD=30，AB=2，得 D1（0， ） ，若点 D 在 AB
9、下方，由BAD=DBA=30，AB=2，得 D2（1， ） ，当 AB 为腰时，A 为顶点时，DAB=120，OAB=60，AD=AB=2，点 D 在 y 轴或 x 轴上，若 D 在 y 轴上，得 D3（0， ） ，若 D 在 x 轴上，得 D4（3，0） ；当 AB 为腰时，A 为顶点时，若点 D 在第三象限，DBO=150，BD=2，得 D5（1，2 ） ；若点 D 在第四象限时，DBx 轴，BD=2，得 D6（2， ） ，符合要求的点 D 的坐标为（0， ） ， （1， ） ， （0， ） ， （3，0） ，（1，2 ） ， （2， ） ；（3）当 AP+BQ 最小时，四边形 ABQP 的周长最小，把点 B 向上平移 个单位后得到 B1（0， ） ，BB 1PQ，且 BB1=PQ，四边形 BB1PQ 是平行四边形，BQ=B 1P，AP+BQ=AP+B 1P，要在直线 x= 上找一点 P，使得 AP+B1P 最小，作点 B1关于直线 x= 的对称点，得 B2（1， ） ，则 AB2就是 AP+BQ 的最小值，AB 2= = ，AB=2，PQ= ，四边形 ABQP 的周长最小值是 +2【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与 x 轴的交点、与 y 轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大
