1、1极值点偏移问题专题（0） 偏移新花样（拐点偏移）例 1 已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，2lnfxx1x212+=4fx求证: 。2证明：注意到 ，1=f12+=fxf12+fx0， ，则（1,2）是 图像的拐点，若拐点（1,2）也是2=fx1=f fx的对称中心，则有 ，证明 则说明拐点发生了偏移，作图如下2x12想到了“极值点偏移” ，想到了“对称化构造” ，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移” ，仍可用“对称化构造”来处理不妨设 ，要证120x121fxfx1142ff， ，则Fxx0,221ffxx2，1402x得 在 上单增，有 ，得证。F0,124Fx2、极值点偏移 PK拐点
2、偏移常规套路1、 极值点偏移（ ）0fx二次函数 12120fxfx2、拐点偏移 0120120fxffxx极值点偏移问题专题（1） 对称化构造（常规套路）例 1（2010 天津） 已知函数 exf（1）求函数 的单调区间和极值；fx（2）已知函数 的图像与 的图像关于直线 对称，证明：当 时，gfx1x1x12010fxfx1202010ffxfx3；fxg（3）如果 ，且 ，证明： 1212fxf12x点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下：例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数 ，已知 ，exf12ffx，证明 2x
3、12x再次审视解题过程，发现以下三个关键点：（1） ， 的范围 ；x2120x（2）不等式 ；ff（3）将 代入（2 ）中不等式，结合 的单调性获证结论xfx4把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题例 2（2016 新课标 卷）已知函数 有两个零点22e1xfxa（1）求 的取值范围；a（2）设 ， 是 的两个零点，证明： 1x2fx12x解：（1） ，过程略；0,（2）由（ 1）知 在 上 ，在 上 ，由 ，可设fx,1A,A120fxf12x构造辅助函数 2Fxffx221e1exxfaa当 时， ， ，则 ，得 在 上 ，又020x0Fxx,1A，故 ，即 1F12ff将 代
4、入上述不等式中得 ，又 ， ， 在x21fxx21xf上 ，故 ， ,A112通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解但极值点偏移问题的结论不一定总是 ，也可以是 ，借鉴前面120xx2120x的解题经验，我们就可给出类似的过程例 3 已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 ，lnfxym1,Axy，求证： 2,Bxy12e证明：（i） ，得 在 上 ，在 上 ；当 时，lnfxfx10,eA,eA01x； ；当 时， ；当 时， （洛必达法则）0fx1f1fxfx5；当 时， ，于是 的图像如下，得 xfxfx120ex小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1：求导，获得 的单调性，极值情况，作出 的图像，由 得fxfx12fxf， 的取值范围（数形结合） ；1x2step2：构造辅助函数（对结论 ，构造 ；对结120xx0Fxffx论 ，构造 ） ，求导，限定范围（ 或 的范围） ，判2120xFff12定符号，获得不等式；step3：代入 （或 ） ，利用 及 的单调性证明最终结论1x212fxffx
