1、抛物线的简单几何性质叶双能一教学目标：1. 掌握抛物线的简单几何性质2. 能够熟练运用性质解题3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.二教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用.易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.三教学过程（一）复习回顾：（1）抛物线 的焦点坐标是_; 准线方程_.2(0)yax（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点 ，则抛物线的标准方程为(1,4)M_.(3)过点 作斜率为 的直线 ，交抛物线 于 A，B 两点，求,0M1l2yx|（二
2、）典例分析：例 1.已知抛物线 直线 过定点 ，斜率为 . 为何值时，直线 与抛物线24,yxl,1Pkl：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？2设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系.(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法;(3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想 .变式 1：已知抛物线方程 ，当 为何值时，直线 与抛物线（1）只有一xy42bbxyl:个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时， 的最大值是多少？b例 2：过点 作抛物线 的弦 ，恰好被点 所平分.,1Q28yxABQ(1)求 所在
3、的直线方程； （2）求 的长.AB|变式 1：斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点，求l=4yx线段 AB 的长.(教材 69 页例 4)方法（一）方程联立 求交点坐标 根据两点间距离公式 方法（二） ）方程联立 根据韦达定理求 运用弦长公式 12+x 方法（三） （数形结合）方程联立 根据韦达定理求 运用焦点弦公式 12+x 拓展：标准方程对应的焦点弦公式： 12():|=+|pyABx焦 点 在 轴 上（ 焦 点 在 轴 上 ：（由焦半径公式推导而来） 变式 2：已知抛物线 与直线 相交于两点。2yx(1)ykx（1）求证： ；OAB（2）当 的面积等于
4、时，求 的值（ ）06（本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法）(1)分 解 成 两 个 共 底 的 三 角 形 的 面 积 之 和（ ） 利 用 底 乘 高 的 一 半 公 式变式 3：已知抛物线 .:C2yx(1).若直线 与曲线 只有一个交点，求实数 的取值范围.1kxk(2).求过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线方程 .0,P(3).过点 作抛物线 弦 ，恰好被点 所平分，求 的直线方程和弦 的长.ACABAB|AB(1) ;(2) 或 或 );(3) ,130,20x1y2xyx2例 3.过抛物线 的焦点 F 的一条直线和抛物线相交于yp 12(,)(,)ABy(1).求证：2
5、211,4x(2).求证： 122(sinpAB为 直 线 的 倾 斜 角 ）(3).求证： F(4).求证 019(5).求证：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(6).AFB求 证 ： 以 （ 或 ） 为 直 径 的 圆 与 y轴 相 切(7).求证：点 A、O、B1 三点共线.(8).若 ，M 是 A1,B1 的中点，求证ab， MFab变式练习：若抛物线的方程为 ，则能得到什么结论？ 2xpy: 例已知抛物线 ： C24yx（）在抛物线 上求一点 P，使得点 P 到直线 的距离最短.3yx（2）在抛物线 上求一点 P，使得点到点 的距离最近，并求最近的距离,0A（）若点 的坐标为
6、，在抛物线 上求一点 P 使得 最小，并求最小A1,C|FA值.（）若点 的坐标为 ，在抛物线 C 上找一点使得 最小，并求最小,4|值.（）在抛物线 上求一点 P，使得点到点 距离与 P 到准线的距离之和最小，C0,2A并求最小的值.（6 ）求下列函数的最值.(1) (2) 21xyz yxz（7）过抛物线 C 的焦点 F，做互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD，求 的最小|ABCD值.变式 1：过抛物线 的焦点 F，做互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD，求24yax(0)的最小值.|ABCD变式 2：过定点 M(4,0)作直线 L，交抛物线 于 A、B 两点，F 是抛物线的焦点，求xy4
7、2的面积的最小值。F变式 3：已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点。xy42（1）若 ，求直线 L 的方程。 （2）求 的最小值。316AB例 5.已知抛物线 的动弦 恒过定点 ，求证：2(0)ypxAB(,0)Mp.1OABk变式 1：若直线 L 与抛物线 交于 A、B 两点，且 OAOB ，:求证：直线)(2pL 过定点变式 2：如图所示，F 是抛物线 的焦点，点 为抛物线内一定点，2(0)ypx4,2A点 P 为抛物线上一动点，且 的最小值为 .|PAB8（）求抛物线的方程；（）若 O 为坐标原点，问是否存在点 M，使过点的动直线与抛物线交于
8、，两点，且 ，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理.0BC由三练习反馈：1. 抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标为_.21yx92. 过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，如果 ，812(,)(,)AxyB126x则 =_.|AB3. 已知抛物线 的焦点为 F，点 在抛物2(0)ypx123,PxyPxy线上，且 成等差数列，则有（ ）123,xA. B. |FP22213|FC. D. 231|FP231|.|FP4 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，求这xy4个三角形的面积5.直线 与抛物线 相交于 两点，求证：2yx2yx,ABOAB6.已知直
9、线与抛物线 交于 两点， 且 并交 ABp(0),D于点，点的坐标为 求 的值,1第题图7.设直线 与抛物线 交于 两点，已知弦 ，点 P 为抛物线2yxb24yx,AB|35AB上一点， 求点 P 的坐标( )30,PABS16898.过抛物线 焦点 F 的直线交抛物线于 两点，通过点 A 和抛物线顶点2()ypx,的直线交抛物线的准线于点 D，求证：直线 DB 平行于抛物线的对称轴.9（05 北京）如图，O 为坐标原点，过点 . ，且斜率为 的直线 交抛物线2,0Pkl于 两点.2yx12,MyNx(1)写出直线 的方程；（2）求 与 的值；（3）求证l12yOMN10. 已知直线 与抛物线 相交:lyxbxy2 于两点 A、B ，求：(1)线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 ; (2) 为b何值时 . O11.过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦 ，则弦 的长度是多少？xy2045AB045变式 1：已知抛物线 截直线 所得的弦长为 ，求 的值.yxbb变式 2：已知抛物线 截直线 所得的弦长为 ，求 的值.xy21kk（四）小节.
