1、业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 1直 线 与 椭 圆 (教师版)知识与归纳：1.点与椭圆的位置关系点 P(x0，y 0)在椭圆 内部的充要条件是 ；在椭圆外部的充要条件是 ；12byax 120byax 120byax在椭圆上的充要条件是 .202.直线与椭圆的位置关系.设直线 l：Ax+By+C =0，椭圆 C： ，联立 l 与 C，消去某一变量(x 或 y)得到关于另一个变量的一元12byax二次方程，此一元二次方程的判别式为 ，则 l 与 C 相离的 0.3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2) |P1P2|=（
2、k 为直线斜率）形式( 利用根与系数关系2121)()(yx 21221yxk（推导过程：若点 在直线 上，12,(,)AxBy， (0)kb则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，12ykxbykb， 222221111()()()()()ABxkxkx2214kx或者 22222111112()()()()()yxyykk。)21122()4yk一，直线与椭圆的位置关系例题 1、判断直线 与椭圆 的位置关系03yx1462yx解：由 可得 1462ky 02)(2kxk )516(2k（1）当 时，直线 与椭圆 相交450)5(2 或即 03yx1462yx业精于勤荒于嬉；行成
3、于思毁于随 2（2）当 时，直线 与椭圆 相切450)516(2 kk或即 03ykx1462yx（3）当 时，直线 与椭圆 相离4)(2即 12例题 2、若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围)(1Rkxy152myxm解法一：由 可得 ， 即152myxk 010)5(2kxk 0152k152k且解法二：直线恒过一定点 ),(当 时，椭圆焦点在 轴上，短半轴长 ，要使直线与椭圆恒有交点则 即5xmb1m5当 时，椭圆焦点在 轴上，长半轴长 可保证直线与椭圆恒有交点即my5a 5综述： 1且解法三：直线恒过一定点 )1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点 在椭圆内部 即)1,
4、0(1502m51m且评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元yxy二次方程，则（1）直线与椭圆相交 （2）直线与椭圆相切 （3）直线与椭圆相离 ，000所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例 2 中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点 在椭圆内部或在椭圆上则),(oyxM12byaxo二、弦
5、长问题例 3、已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1的直线交椭圆于 A,B 两点，求12yxABF 2的面积解法一：由题可知：直线 方程为ABl 02yx由 可得 ，12yx492y 9104)(212121 yy业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 391042121yFS解法二： 到直线 AB 的距离2 5h由 可得 ，又12yx0692x 9210121xkAB904hABS评述在利用弦长公式 （k 为直线斜率）或焦（左）半径公式21221yxk时，应结合韦达定理解决问题。)(12121 xeaexaPFAB例题 4、 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴
6、上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于1F3， 两点，求弦 的长AB分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkxk也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为焦点在 轴上，21xkAB 4)(21212xxk6a3b3cx所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以 ，86721x1x2 13721x， ， 从而 13862xk 48)(121212xkkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知
7、椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， 19362yxmF1n1mAF12nBF12在 中， ，即 ；21FA 3cos212122 AA 363)( 所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 34m21B46n148n业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 4一、求中点弦所在直线方程问题例 1 过椭圆 内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。462yx解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)(4)(8)1( 22 kxkk又设直线与椭圆的交点为 A( )，B（ ） ，则 是方程的两个根，于是1,y,y2,x，4221x又 M 为 AB
8、的中点，所以 ，14)2(1kx解得 ，2k故所求直线方程为 。0yx解法二：设直线与椭圆的交点为 A( )，B（ ） ， M（2，1）为 AB 的中点，1,yx2,yx所以 ， ，421x21又 A、B 两点在椭圆上，则 ， ，6464两式相减得 ，0)()(2121x所以 ，即 ，422yxy 1ABk故所求直线方程为 。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A( )，由于中点为 M（2，1） ，yx,则另一个交点为 B(4- )，x,因为 A、B 两点在椭圆上，所以有 ，6)2(4)(1yx两式相减得 ，042yx由于过 A、B 的直线只有一条，故所求直线方程为 。二、求弦中点的轨迹方程
9、问题例 2 过椭圆 上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹方程。13642yx解法一：设弦 PQ 中点 M（ ），弦端点 P（ ），Q（ ），x, 1,yx2,yx则有 ，两式相减得 ，5761922yx 0)(6)(92121 又因为 ， ，所以 ，2y21 )()(2121 yx所以 ，而 ，故 。yxy6921)8(0xkPQ869y业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 5化简可得 （ ）。0167292yx8x解法二：设弦中点 M（ ），Q（ ），由 ， 可得 ， ，,1,y281x1y82xy21又因为 Q 在椭圆上，所以 ，即 ，36421x364)(所以 P
10、Q 中点 M 的轨迹方程为 （ ）。9)(2y8x三、弦中点的坐标问题例 3 求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标。1xyxy42解：解法一：设直线 与抛物线 交于 ， ，其中点 ，由题意2),(1yxA),(2yxB),(0yxP得 ，xy42消去 y 得 ，即 ，)1(20162x所以 ， ，即中点坐标为 。320x0y)2,3(解法二：设直线 与抛物线 交于 ， ，其中点 ，由题意得1x42,1yA),2yxB),(0yxP，两式相减得 ，214xy )(1212y所以 ，4)(12y所以 ，即 ， ，即中点坐标为 。120310yx)2,3(例题 5、已知 是直线 被椭圆 所截得的线段
11、的中点，求直线 的方程),4(Pl9362 l分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )yxxy的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )的值代入计算即得21x121并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(2xky 036)4(8)14( 22kxk业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 6设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，),(1yxA),(2yxB1x2 14)2(821kx 为 中点， ， 所求直线方程为 )2
12、,4(PB442k0y方法二：设直线与椭圆交点 ， 为 中点， ， ),(1yx),(2yx),4(PAB821x421又 ， 在椭圆上， ， 两式相减得 ，A362136)(4)(2y即 直线方程为 0)(4)(222121 yyxx )(42121yxxy 082x方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ,(A,8B 、 在椭圆上， 。 AB3642yx 36)()(22yx从而 ， 在方程 的图形 上，而过 、 的直线只有一条，直线方程08为 082yx说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题， “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是 、 的椭圆
13、截直线 所得弦中点的横坐标是 4，则如何求椭圆方程？),3()0,(082yx例题 6、已知椭圆 及直线 142yxmy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程50解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，mxy142yx1422mx即 ，解得 01252x065222 25（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， x2 521x121x根据弦长公式得 ： 解得 方程为 05412m0my说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决
14、弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例题 7、 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与该椭圆交于 P 和 Q，且 OP OQ，| PQ|=业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 7，求椭圆方程.210【解前点津】 由题设条件，不能确定焦点是在 x 轴，还是在 y 轴上，且对于 a、b、c 的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx 2+ny2=1(m0，n0)简便.【规范解答】 设椭圆方程为：mx 2+ny2=1(m0，n0)，设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，由 中消去 y 并依 x 聚项整理
15、得：(m+n) x2+2nx+(n-1)=0，=4n 2-4(m+n)(n-1)0，即 m+n-12nymxmn0， OPOQ 等价于 x1x2+y1y2=0，将 y1=x1+1，y 2=x2+1 代入得：2x 1x2+(x1+x2)+1=0， 0)( 又|PQ |= 21212121 )()()()( x 222 4)( xx04nmn联立并解之得： 213n或经检验这两组解都满足 0，故所求椭圆方程为 x2+3y2=2 或 3x2+y2=2.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx 2+ny2=1(m0，n0)，m 与 n 的大小关系，决定了焦点位置 .三，对称
16、问题例题 8、已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两1342yxC： mmxyl4： C点关于该直线对称分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1)直线 ；(2)弦 的中点 在ABl lABM上l利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围解：(法 1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点),(1yx),(2yxll),(0yx 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去 得l4lkABnx41,1342yxn。 于是 ， ，08168322nx 13821 210132400nx即点 的坐标为 点 在直线 上， 解得 M)3
17、,4(Mmxy4mn3将式代入式得 86922mx业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 8 ， 是椭圆上的两点， 解得 AB 0)48169(34)26(2m132m(法 2)同解法 1 得出 ， ，mn43x)0，即 点坐标为 xy 3)(1400 M)3,( ， 为椭圆上的两点， 点在椭圆的内部， 解得 ABM1)4)(22m132m(法 3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标为 ),(1yx),(2yxlABlM),(0yx ， 在椭圆上， ， 两式相减得 ，13411342yx 4)(321212121 x即 0)(2)(2321010 yx )(421021xyxy
18、又直线 ， ， ，即 。lABlABk43003又 点在直线 上， 。由，得 点的坐标为 以下同解法 2.Mlmxy0 M)3,(m说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：l(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的AB判别式 ，建立参数方程0(2)利用弦 的中点 在椭圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表示，建立参数不等),(0yx 120byax0xy式四，最值问题例题 9、 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e= ，已知点 P(0， )到这个椭圆上的点的2323最
19、远距离是 ，求这个椭圆的方程.7【解前点津】 由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.【规范解答】 由 e= 可推出 a=2b，于是可设椭圆方程为： ，即有 x2=4b2-4y2.23 142byx设 M(x，y)是椭圆上任意一点，且-byb，|PM |2=-3(y+ )2+4b2+3，由于 y-b，b ，于是转化为在闭区间1-b，b ，求二次函数的最值 .当 b 时，y=-b，|PM| 2 有最大值 b2+3b+ ，令 b2+3b+ =( )2，解得 b= - ，舍去.21494977213业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 9当 b 时，取 y=-
20、知|PM| 2 有最大值 4b2+3，令 4b2+3=( )2 解得：b=1，a=2，故所求方程为： .21 7 142yx【解后归纳】 这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的.例题 10、 设椭圆方程为 ，过原点且倾斜角为 和 -(0 )的两条直线分别交椭圆于1842yx 2A、 C 和 B、 D 两点.(1)用 表示四边形 ABCD 的面积；(2)当 (0， )时，求 S 的最大值.4【解前点津】 设直线方程为 y=xtan，利用椭圆图形的“对称性” ，易用 表示 S，然后运用函数的知识，求面积 S 的最大值.【规范解答】 (1)设经过原点
21、且倾斜角为 的直线方程为： y=xtan，代入 求得：x 2=1842yx，由对称性知四边形 ABCD 为矩形，又由于 0 ，所以四边形 ABCD 的面22tan483,tan483y 2积为：S=4| xy|= .22tt(2)当 0 时，0tan 1，设 t=tan，则 S= (0t1)，4 tt23函数 f(t)=t+ 在(0， )上是单调减函数，2f(t) min=f(1)=1+2=3，当 = 时，S max= .432【解后归纳】 从代数角度出发，利用椭圆的几何性质，确定四边形 ABCD 为矩形，是解题的一个亮点，读者应认真体会.练习题：1、在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的
22、直线 与椭圆 有两个不同的交点xOy(02)， kl21xy和 PQ（I）求 的取值范围；k（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共xyAB， kOPQAB线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线 的方程为 ，l2ykx代入椭圆方程得 整理得 22()1xk 10kx业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随 10直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，l PQ221840kk解得 或 即 的取值范围为 2kkk， （）设 ，则 ，12()()Pxy， 1212()OPxy，由方程， 又 1224k1212kx而 (0)(1)A
23、BA，所以 与 共线等价于 ，将代入上式，解得 OPQ1212()xy2k由（）知 或 ，故没有符合题意的常数 2kkk2、椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点.12byax01yxPQOQP（1）求 的值；（2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范围.e3e2解析：设 ，由 OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),(),(21yxP又将)(2121 xyx代 入 上 式 得 ： 代 入x1，2ba 0)(baba ,221ba代入化简得 .21x 2(2) 又由（1）知,31312aaace 12a，长轴 2 a .65452 6,53、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.1F12yx（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;P1PF2（）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 为锐角（其中 为坐标原点） ，求)2,0(Ml ABO直线 的斜率 的取值范围.lk（）易知 ， ， a1b3c ， 设 则1(3,0)F2(,)(,)Pxy0,)，又 ，212 5,3,34Pxy 21xy
