1、1全等三角形的提高拓展训练知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方
2、法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的
3、基础例题精讲板块一、截长补短【例 1】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，ABC60BDCEABC.BDCEO试判断 、 、 的数量关系，并加以证明EDOECBA2【例 2】 如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意MABD一点(点 除外)，作 ，射线 与 外B60NMNDBA角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分线交于点 ，MABCDMNDABC N与 有怎样的数量关系？DN【例 3】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE.【例 4】 以 的 、 为边向三
4、角形外作等边 、 ，连结 、 相交于点ABCABDCEDBE求证： 平分 ODOENEBMADF AB CD EOOEDCBA_F_E_D_C_B_A_N_C_D_E_B_M_A3【例 5】 如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为ABC1BDC120D顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长60MDNAAMN【例 6】 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC +DE=CD，ABC+ AED=180，求证：AD 平分 CDE板块二、全等与角度【例 7】如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，求ABC60ADBCACBD的度数.ABC【例 8】在等腰 中
5、， ，顶角 ，在边 上取点 ，使 ， ABCA20ABDABC求 .DD CBANMDCBACEDBADCBA4【例 9】 如图所示，在 中， ， ，又 在 上， 在 上，且满足ABC20CMACNB， ，求 .50BAN60MN【例 10】 在四边形 中，已知 ， ， ， ，求ABCDABC60D76AB28DC的度数.【例 11】 如图所示，在四边形 中， ， ， ，ABCD1236CAB48D，求 的度数 .24DBC【例 12】 在正 内取一点 ，使 ，在 外取一点 ，使 ，ABCDABCEDBC且 ，求 .EECDBAD CBADECBANMCBA5【例 13】 如图所示，在 中，
6、， 为 内一点，使得ABC4BCAMABC， ，求 的度数.30MC16 MCAB6全等三角形证明经典 50 题（含答案）1. 已知：AB=4 ，AC=2 ，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD延长 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEBC 时， E 点是射线 AB,DC 的交点） 。则：AED 是等腰三角形。所以：AE=DE而 AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：BEC 是等腰三角形所以：角 B=角 C.15. P 是BAC 平分线 AD 上一点， ACAB，求证：PC-PB
7、AC-AB作 B 关于 AD 的对称点 B，因为 AD 是角 BAC 的平分线，B 在线段AC 上（在 AC 中间，因为 AB 较短）因为 PCPB+BC,PC-PBBC,而 BC=AC-AB=AC-AB,所以 PC-PBAC-AB16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE ，求证：AC-AB=2BEBAC=180-（ ABC+ C=180-4C1=BAC/2=90-2CABE=90-1=2C延长 BE 交 AC 于 F因为，1 =2，BEAE所以，ABF 是等腰三角形AB=AF,BF=2BEFBC= ABC- ABE=3C-2C=CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BEDCBA
8、FEAB CDP DACB917. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5 ，AC=7，求 DC作 AGBD 交 DE 延长线于 GAGE 全等 BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5所以 DC=CF=218 （5 分）如图，在ABC 中，BD =DC，1=2，求证：ADBC延长 AD 至 H 交 BC 于 H;BD=DC;所以:DBC=角 DCB;1=2;DBC+1= 角 DCB+2;ABC=ACB;所以:AB=AC;三角形 ABD 全等于三角形 ACD;BAD=CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直 BC19 （5 分）如图，OM 平分 POQ，MA O
9、P ,MBOQ，A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N求证：OAB=OBA因为 AOM 与 MOB 都为直角三角形、共用 OM，且MOA=MOB所以 MA=MB所以MAB=MBA因为OAM= OBM=90 度所以OAB=90- MAB OBA=90- MBA所以OAB=OBA20 （5 分）如图，已知 AD BC，PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于 E，CE 的连线交 AP 于 D求证：AD+BC=AB证明：做 BE 的延长线，与 AP 相交于 F 点，PA/BCPAB+CBA=180，又，AE，BE 均为PAB 和CBA 的角平分线EAB+EBA=90AEB=90，EAB 为直角三角
10、形在三角形 ABF 中，AE BF，且 AE 为FAB 的角平分线FA EDCBPEDCBA10三角形 FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形 DEF 与三角形 BEC 中，EBC=DFE,且 BE=EF， DEF=CEB，三角形 DEF 与三角形 BEC 为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21 （6 分）如图，ABC 中，AD 是CAB 的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B证明：在 AB 上找点 E，使 AE=ACAE=AC，EAD=CAD ， AD=ADADE ADC。DE=CD，AED= CAB=AC+CD ，DE=CD=AB-AC=AB-A
11、E=BEB=EDBC=B+EDB=2B22 （6 分）如图，E、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DEAC 于 E，BFAC 于 F，若AB=CD，AF=CE，BD 交 AC 于点 M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由分析：通过证明两个直角三角形全等，即 RtDECRt BFA 以及垂线的性质得出四边形 BEDF是平行四边形再根据平行四边形的性质得出结论解答：解：（1）连接 BE，DFDEAC 于 E，BF AC 于 F， ，DEC=BFA=90，DE BF，在 Rt DEC 和 RtBFA 中，AF=CE，AB=CD，RtDEC RtBFA ，DE=BF四边形 BEDF 是平行四边形MB=MD，ME=MF；（2）连接 BE，DFDEAC 于 E，BF AC 于 F， ，DEC=BFA=90，DE BF，在 Rt DEC 和 RtBFA 中，AF=CE，AB=CD，DC BA
