1、- 1 -第 一 讲 小 升 初 竞 赛 中 的 分 数 问 题知 识 导 航在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。和(差)倍问题。具体表现为“已知分数的分子与分母的和( 差)，和约分过后的结果，求原分数。变化类。具体表现为“已知分数的分子与分母和(差)的关系，再告诉分子或分母变化后的结果，求原分数。 ”因数分解类。具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。 ”中间分数计算类。具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和的最小值。 ”精 典 例 题例 1：一个分数约分后是 ，若约分前分子与分母的和是 40，那么约分前的分数是多少?37思 路
2、 点 拨想一想：约分后是 ，你可以想到什么？你有几种方法来解答这个问题？(友情提示：从方程37与算术两个角度来思考。)模 仿 练 习一个分数的分子与分母和是 40，约分后是 ,那么这个分数原来是多少？35例 2：一个分数的分子与分母的和是 19，加上这个分数的分数单位就是 ,这个分数是多少？14（2006 年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16- 2 -思 路 点 拨想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化？想明白后，再结合例 1 方法来思考一下，相信你能自己解答的！模 仿 练 习一个分数的分子与分母之和是 37，若分子减去 1，分数值是 ,原分数是多少？(2007 年成都
3、外12国语学校小语种数学试卷)例 3：分子、分母相乘的积是 2002 的最简真分数共有多少个？(2005 年成都七中育才东区衔接班招生考试题)思 路 点 拨想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数？再想一想对“分子、分母相乘的积是 2002”的信息又应该怎样去理解？模 仿 练 习一个最简真分数，分子与分母的积是 24，这个真分数是多少？(成都外国语学校 2011 年“德瑞杯”知识竞赛数学试题)学 以 致 用A 级1.一个分数分子与分母的和是 72，约分后是 ，这个原分数是多少？(2005 年成都七中育才东27区衔接班招生考试题)- 3 -2.将分数 的分子增加 77 后，如果要求分数的大小不变
4、，分母应变为多少？(2010 年成都七711中嘉祥外国语学校 6 年级衔接班试题 2)3.一个分数，分子、分母的和是 2010，约成最简分数后是 ,这个分数是多少？（嘉祥外国语760学校 2011 年 5 升 6 招生数学试题）B 级4.某分数分子分母的和为 23，若分母增加 17，此分数值为 ，原分数为多少？（成都实验外国14语学校“德瑞教育发展基金会”2010 年奖学金测试数学 A 卷）5.分子与分母的乘积是 156 的最简真分数有多少个？（2008 年成都嘉祥外国语衔接班招生考试题 2）6. 一个分数，分子与分母的和是 75，若分子加上 3，则可约简成 ,原来的分数是多少? 58（200
5、7 年成都七中育才东区衔接班招生考试题 2）C 级7.m,n 为自然数，若 ，则 m+n 的最小值是多少？（2007 年成都七中育才东区衔接班招34 nm 45生考试题 2）第 二 讲 分 数 计 算 中 的 拆 分知 识 导 航分数计算中的拆分，又叫裂项计算。分裂项差与裂项和两类。最常见的为裂项为分数单位差。裂项差基本知识点为： (注：a 小于 b，a、b 都为非零自然数。)baxb1裂项和基本知识点为： (a、b 都为非零自然数。)聪明的你能说出其中的道理吗？试试看！- 4 -）（）（） （）（）（）（ 1032193210432132121 本讲主要讲裂项差知识。精 典 例 题例 1：把
6、下 面 的 和 表 示 为 一 个 既 约 分 数：（注：分子、分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数。 ）(美 国 长 岛 小 学 数 学 竞 赛 第 三 次 第 4 题) 6514312思 路 点 拨仔细观察，每一项中的分母的因数差是几，与分子有什么样的关系？那么可以怎样计算。模 仿 练 习(南 京市第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛 C 卷210194321第 5 题 )例 2： (第三届“华杯赛”决赛第一试试题)9163513思路点拨想一想：现在这种形式满足 吗？很显然不满足，那么仔细观察每一项的分母，根据分母的特点，有bax没
7、有方法把这道题的每一项都转化成“ ”的形式！相信你会有办法的！模仿 练习（第三届小数报数学竞赛）1097130741例 3：(1989 年小学数学奥 林匹克 竞赛初赛试题 成都实验 外国语学校“ 德瑞教育发展基金会”2010- 5 -）（）（） （）（）（）（ 1032193210432132121 年奖学金测试题 B 卷) 思路点拨先根据减法的性质：从被减数中连续减去几个数，可以先把这几个减数相加，再从被减数里减去它们的和，结果不变。然后，再观察每项分母的两个因数与分子之间有什么关系？那么可以怎样计算？ 模仿 练习计算化简后得到一个最简分数，它的分母与分子的这差是多少？(北京市第四届“迎春杯
8、”刊赛试题)学以致用A 级1. + + + + (第三届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)112 123 134 111122. + + + + + 214 247 2710 21013 2971003. + + + + + 514 547 5710 51013 597100B 级4.1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 (第四届“华杯赛”复赛第 5 题)16 112 120 130 142 156 172 1905. + + + + （成都外国语学112 2123 31234 81239校 2009 年“德瑞杯”知识竞赛数学试题）C 级- 6 -6. (南京市
9、第）（） （） （） （） （ 1932141321321 三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛 D 卷第 1 题)第三讲 工程问题(一)知识导航工程问题小学应用题的重点内容也是难点内容，更是小升初、竞赛中的压轴题。 “难”在工程问题中一般情况下将工作总量看作单位“1” ，显得格外的抽象，学生难于理解。其实工程问题的解题策略就是设值法，就是设工作总量为单位“1” ，如果结合具体情境，我们把这个“1”给它赋予实际意义，理解为 1，1 个就可以化抽象的“1”为具体的“1” ，从而形象理解，轻松掌握。常见数量关系：工作总量=工作效率工作时间；工作时间=工作总量工作效率；工作效率=工作问题工作时间。分析解
10、答问题时，不要把问题想的太复杂了！如果善于从基本关系入手，相信很多工程问题，都应该变得格外简单。也有些特定的题需要理解特定的规律进行解答的如“例 3”的内容。“它山之石，可以攻玉” ，有时我们工程问题的解题策略运用到非工程问题中，可以起到意想不到的效果。精典例 题例 1：一项工程，甲、乙合作 8 天可以完成全部工程的 ，已知乙单独做要 15 天完成。问甲单45独做要多少天完成这项工程？(2009 七中实验小升初试题)思路点拨想一想:“问甲单独做要多少天完成这项工程？”就是求甲的什么？要回答这个问题，根据哪个基本关系来做？那么应该知道哪些条件? 这些条件直接告诉没有？应该怎么办呢？模仿 练习甲乙
11、两工程队同时合作修一条水渠要 100 天。甲工程队先修 40 天，乙工程队再修 60 天，可- 7 -以完成这条水渠的 ,如果甲乙两工程队都单独去修，完成任务各需要多少天？715例 2：一架飞机所带的燃料最多可以用 6 小时，飞机去时顺风，每小时可以飞 1500 千米，回来时逆风，每小时可以飞 1200 千米，这架飞机最多能飞多少千米，就需要往回飞？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题2007 年成都外国语学校奖学金考试数学试题)思路点拨这道题的解答方法很多！但要从工程问题的角度来思考，该怎么办？想一想：工程问题的思维特点是什么？若能再结合“量率的对应关系”来思考，那么，此类问题你应该可以秒杀了！
12、模仿 练习一辆汽车以每小时 60的速度从 A 地开往 B 地，它又以每小时 40速度从 B 地返回 A 地，那么这辆汽车行驶的平均速度是多少/h？(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)例 3：右图是根据甲、乙单独完成一项工作所需要的天数制成的条形统计图，如果这项工作要在 10 天内完成，那么甲、乙合作的时间至少有多少天？(2009 年成都嘉祥外国语学校 6 年级插班生招生考试题)思路点拨想一想：问题的关键是合作的时间要最少！该怎么理解！（友情提示：如果我们让其中一个人做满 10 天，那么另一人做的天数是不是可以理解为他们的合作天数了？）模仿 练习某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需要 12
13、 小时注满，单放乙管需要 24 小时注满。现在要求 10 小时注满水池，并且甲乙两管合放的时间尽可能地少，那么甲、乙两管合放最少需多少小时？(1989 年小学数学奥林匹克决赛试题)- 8 -学以致用A 级1.一项工作，甲单独做 6 天完成，乙单独做 9 天完成。两人合做这项工作，用多少天可以完成？(2008 年成都外国语学校小升初考试题)2.从甲地到乙地，快车要 10 小时，慢车要 15 小时，现在两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？3. 水果店有甲、乙、丙三种水果，老李所带的钱如果买甲种水果刚好可买 4；如果买乙种水果刚好可买 6；如果买丙种水果刚好可买 12。老李决定三种
14、水果买一样多，那么他所带的钱能买三种水果各多少？(第十届小数报数学决赛试题)B 级4. 师徒二人同时合作完成一项任务要 10 小时。师傅工作 4 小时，徒弟工作 6 小时，可以完成这项任务的 ,如果师徒二人都单独去做，完成任务各需要多少小时？(2007 年成都市实验外国715语学校招生考试题)5. 一项工作，甲单独做要 10 天，乙单独做工 15 天。如果两人合作，工作效率就要降低，甲只能完成原来的 ,乙只能完成原来的 。现在要 8 天完成这项工作，两人合作天数尽量少，两人45 910最少合作多少天？(1996 年小学数学奥林匹克决赛民族卷试题2006 年成都外国语学校奖学金考试数学试题)C
15、级6.甲、乙、丙三个人中，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，如果甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后 2 分钟再遇到甲，那么两镇距离的 是多14少米？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题)第四讲 整数在分数应用题中的应用- 9 -知识导航整数在分数应用题中的应用，主要是抓住分数的基本意义结合解答分数应用题的基本思路进行分析解题。一般而言，在分数应用题中，分率(指具有倍数意义的分数)意义是把单位“1”的量平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。因此应用整数知识来解决分数应用题的一般思路：找准单位“1”的量；依据分数的分母确定单位“1”的量代表的份数
16、，依据分子确定比较量代表的份数；根据份数来求解。此外，应用整数知识来解分数问题，往往还涉及到整除知识的应用精典例 题例 1：甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 ，那么甲、乙两个数的和最小是多少？25 14思路点拨甲、乙两个两位数， “甲数的 等于乙数的 ”，说明了什么？甲数一定是几的倍数？乙数一定25 14是几的倍数？且同时要满足“甲数的 等于乙数的 ”而且要甲、乙两数最小。那么我们可以用尝25 14试与猜测的方法进行调整试试看！模仿 练习甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 ，那么甲、乙两个数的和最大是多少？25 14例 2：甲、乙、丙三人去买书，乙买的书比甲买书的本数的 多 3 本，丙买
17、的书比甲的 少 1 本。37 25那么，三人合计最少买了多少本？- 10 -思路点拨从“乙买的书比甲买书的本数的 多 3 本”你发现“甲买书的本数”一定是几的倍数？从“丙37买的书比甲的 少 1 本” ，你又有什么发现？把这两个发现结合起来，我们可以得出结论？现在你25能回答问题了吗？模仿 练习在第十届亚运会上，到某一天中国已获得了 200 多枚奖牌，其中金牌的枚数比银牌枚数的 1倍少 17 枚，铜牌枚数比金牌枚数的 多 10 枚，那么到这一天中国在这届亚运会上共获得多少34 817枚奖牌？例 3：黑板上写着从 1 开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。其余各数的平均数是35 。擦去的数是多少？(2001 小学数学奥林匹克初赛试题 )517思路点拨想一想：从条件“其余各数的平均数是 35 ”入手,再根据平均数的意义,我们可以发现“剩517下的个数”一定是 17 的倍数，即剩下的个数可能是 17，34，51，68，那么对应原来的个数可能为 18，35，52，69，再注意原来所有数的总和一定大于剩下数的总和这个隐藏条件，用尝试与猜测的方法可以进行调整.（当然这道题还有秒杀思路！）模仿 练习从 11，12，13这若干个连续自然数中擦去一个后，剩下的数的平均数是 23 。那么擦去913的数是多少？学以致用
