1、1让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院 Nice Education相似三角形的应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题） 【知识回顾】一、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等（2）相似三角形的周长比等于相似比（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比二、相似三角形的应用:1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式） ；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可
2、以解决一些不能直接测量的物体的长度如求河的宽度、求建筑物的高度等【典型例题】例 1：如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm， 高 AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？AB CQ MDNP E【同步练习】如图，ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上试求正方形的边长是多少？2让我们一起为了孩子的进步而努力！
3、纳思书院 Nice Education例 2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的 4 名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米（如图 1） 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图 2） ，墙壁上的影长为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图 3） ，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，落在地面上的影长为 4
4、.4 米小明：测得丁树落在地面上的影长为 2.4 米，落在坡面上影长为 3.2 米（如图 4） 身高是 1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为 2m 图 1 图 2 图 3 图 4（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米（2）求出乙树的高度（画出示意图） （3）请选择丙树的高度为（ ）A、6.5 米 B、5.75 米 C、6.05 米 D、7.25 米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看【同步练习】如图，有一路灯杆 AB(底部 B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长 DF3m，沿 BD 方向到达点 F 处再测得自己得影长 FG4m，如果小明得身高为1
5、.6m，求路灯杆 AB 的高度3让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院 Nice Education例 3：如图，已知 AD 是ABC 的中线，M 是边 AC 上的一动点， ，BM 交 AD 于=CMnAN 点。 如图 ，若 ，则 。如图 ，若 ，则 。1n=AND2nND如图 ，若 ，则 。3 猜想， 与 存在怎样的关系？并证明你的结论。 当 时，恰有nANCMD【同步练习】如图，DE 是ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM 的延长线交 AB 于点 N，则 DMN 四边形 ANME = S例 4：如图，在 中， 的面积为 25，点 为 边上的任ABC 901BCA， ， DAB意一
6、点（ 不与 、 重合） ，过点 作 ，交 于点 设 ，以 为DDE ExE折线将 翻折（使 落在四边形 所在的平面内） ，所得的 与梯形E 重叠部分的面积记为 By（1）用 表示 的面积；x（2）求出 时 与 的函数关系式；05x（3）求出 时 与 的函数关系式；1y（4）当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？xEADB CAB CA4让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院 Nice Education【同步练习】如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=2，BC=3，点 P 是 AD 边上的一动点（P 异于A、D） ，Q 是 BC 边上的任意一点 . 连 AQ、DQ，过 P 作 PEDQ
7、交 AQ 于 E，作 PFAQ 交 DQ于 F.（1）求证：APE ADQ；（2）设 AP 的长为 x，试求 PEF 的面积 SPEF 关于 x 的函数关系式，并求当 P 在何处时，S PEF 取得最大值? 最大值为多少?例 5：等腰ABC，AB=AC=8 ， BAC=120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板，使 30角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转（1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPE CFP ；（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC于点 E、 F 探究 1：BPE
8、与CFP 还相似吗？（只需写出结论） 探究 2：连结 EF，BPE 与 PFE 是否相似？请说明理由； 设 EF=m， EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S5让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院 Nice Education【同步练习】如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C， DME AB，且 DM交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG，如果 45，AB ，AF 3，求 FG 的长42例 6：如 图 ， 已 知 抛 物 线 y x 2bx c 与 坐 标 轴 交 于 A、 B、 C 三 点 ，
9、 A 点 的 坐 标 为43（ 1，0） ，过点 C 的直线 y x 3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 Pt作 PHOB 于点 H若 PB5t ，且 0t1（1）填空：点 C 的坐标是_ ，b_，c_；（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ；（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由ACBQPOHxy6让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院 Nice Education巩固练习1. ABC 中， DAB于 ， 一定能确定 ABC 为直角三角形的条件的个数
10、是（ ）1， ， 290， 345 ， CDABA1 B2 C3 D42. 如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形ADE，EB，CE 分别交 AD 于点 G，H设CDH，GHE 的面积分别为 S1，S 2，则（ ）A 21S3 B 3 C 21S3 D 21S33. 如图，在 RtABC 内有边长分别为 a，b，c 的三个正方形，则 a，b，c 满足的关系式（ ）Ab=a+c Bb=ac Cb 2=a2+c2 Db=2a=2c 4. 某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在RtABC 中， C=90，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为
11、1cm 的矩形纸条 a1、a 2、a 3，若使裁得的矩形纸条的长都不小于 5cm，则每张彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ） A24 B25 C26 D275. 如图，点 在射线 上，点 在射线 上，且 ，1234A， ， ， OA123B， ， OB123AB 若 ， 的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和234B 21 32为 6. 在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12m，塔影长 DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和 1m，那么塔高 AB 为（ ）A24m B22m C20m D18m7让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院 Nice Education7. 正方形 边长为 4， 、 分别是 、 上的两个动点，当 点在 上运动时，ABCDMNBCDMBC保持 和 垂直，（1）证明： ；Rtt （2）设 ，梯形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当 点运动到什xAyx么位置时，四边形 面积最大，并求出最大面积；（3）当 点运动到什么位置时 ，求 的值RttBAN
