1、一次函数的应用（提高）【学习目标】1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4. 提高解决实际问题的能力认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数
2、模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组） 、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、简单的实际问题1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程 y（千米）随时间 x（时）变化的图象（全程）如图所示
3、.下列说法正确的有（ ）：起跑后 1 小时内，甲在乙的前面；第 1 小时两人都跑了 10 千米；甲比乙先到达终点；两人都跑了 20 千米. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C；【解析】正确.在起跑 1 小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；第一小时，两人所跑的路程均为 10 千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10 千米/时，2 小时跑了 20 千米，甲也跑了同样的路程.【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析这四个结论举一反三：【变式】如图 OB、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中
4、 s和 t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：甲让乙先跑 12 米；甲的速度比乙快 1.5 米/秒；8 秒钟内，乙在甲前面；8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（ ）A B C D【答案】B；提示：由图形， t0 时，甲在乙前边 12 米，即甲让乙先跑 12 米，故正确；当 t8 秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快 1281.5 米/秒，故正确；8 秒钟内，AB 在 OB 的上面，即可知乙在甲前面，故正确；8 秒钟后，AB在 OB 的下面，即可知甲超过了乙，故正确故选择 B类型二、方案选择问题2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：购一个书包，赠送一支水性笔；购书包和水
5、性笔一律按 9 折优惠，书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元，小丽和同学需买 4 个书包，水性笔若干(不少于 4 支)(1)分别写出两种优惠方法购买费用 y(元)与所买水性笔支数 x(支)之间和函数关系式；(2)对 x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；(3)小丽和同学需买这种书包 4 个和水性笔 12 支，请你设计怎样购买最经济【答案与解析】解：(1)根据题意可得：方案购买费用 1y与购买水性笔支数 x之间的函数关系式：1y 4205( x4)5 60( 4)；方案购买费用 2y与购买水性笔支数 x之间的函数关系式；2y4200.950.9 4.5 72( 4)(2
6、)在同一坐标系内分别画出 1y与 2的图象，如图所示，由图象可知： x24 时，两个函数的函数值相等；24 时，对同一个 x， 1y上的点都在 2y上的点的上边即 1y 2；4 24 时，对同一个 ， 2上的点都在 1上的点的上边即 可得优惠方案：当购买 24 支水性笔时，方案与方案同样优惠；当购买水性笔不少于 4 支但没超过 24 支时，方案收费少，选方案；当购买水性笔超过 24 支时，方案收费少，选方案.(3)小丽购买 4 个书包，12 支水性笔时，1224，应在方案中，费用y 51260 120（元） 但题中有一个条件不可忽视，方案购买 4 个书包赠 4 个水性笔，而方案中一律 9折，这
7、让人不得不想到还可这样购买两种优惠全用，在方案中买 4 个书包这样得 4 支笔，总共买 12 支笔还差 8 支，去方案中打 9 折购买，算一算总费用y 42050.98 80 36116（元） ；而 116120故小丽这样买最经济：按方案买 4 个书包得 4 支水性笔按方案买余下的 8 支水性笔【总结升华】 （2）对 x的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找 x取何值时，值相等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小举一反三：【变式】 （2015六盘水）联通公司手机话费收费有 A 套餐（月租费 15 元，通话费每分钟 0.1元）和 B 套餐（月租费 0
8、 元，通话费每分钟 0.15 元）两种设 A 套餐每月话费为 y1（元） ，B 套餐每月话费为 y2（元） ，月通话时间为 x 分钟（1）分别表示出 y1与 x，y 2与 x 的函数关系式（2）月通话时间为多长时，A、B 两种套餐收费一样？（3）什么情况下 A 套餐更省钱？【答案】解：（1）A 套餐的收费方式：y 1=0.1x+15；B 套餐的收费方式：y 2=0.15x；（2）由 0.1x+15=0.15x，得到 x=300，答：当月通话时间是 300 分钟时，A、B 两种套餐收费一样；（3）当月通话时间多于 300 分钟时，A 套餐更省钱3、 （2015内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为
9、每台 2100 元，空调的销售价为每台 1750 元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 400 元，商城用 80000 元购进电冰箱的数量与用 64000 元购进空调的数量相等（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共 100 台，设购进电冰箱 x 台，这 100 台家电的销售总利润为 y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 2 倍，总利润不低于 13000 元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 k（0k100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，
10、设计出使这 100 台家电销售总利润最大的进货方案【思路点拨】 （1）设每台空调的进价为 x 元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用 80000 元购进电冰箱的数量与用 64000 元购进空调的数量相等” ，列出方程，即可解答；（2）设购进电冰箱 x 台，这 100 台家电的销售总利润为 y 元，则 y=（21002000）x+（17501600） （100x）=50x+15000，根据题意得： ，得到 ，根据 x 为正整数，所以 x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有 7 种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；（3）当电冰箱出厂价下调
11、 k（0k100）元时，则利润 y=（k50）x+15000，分两种情况讨论：当 k500；当 k500；利用一次函数的性质，即可解答【答案与解析】解：（1）设每台空调的进价为 x 元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得： ，解得：x=1600，经检验，x=1600 是原方程的解，x+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为 1600 元，则每台电冰箱的进价为 2000 元（2）设购进电冰箱 x 台，这 100 台家电的销售总利润为 y 元，则 y=（21002000）x+（17501600） （100x）=50x+15000，根据题意得： ，解得： ，x 为正整
12、数，x=34，35，36，37，38，39，40，合理的方案共有 7 种，即电冰箱 34 台，空调 66 台；电冰箱 35 台，空调 65 台；电冰箱 36 台，空调64 台；电冰箱 37 台，空调 63 台；电冰箱 38 台，空调 62 台；电冰箱 39 台，空调 61 台；电冰箱 40 台，空调 60 台；y=50x+15000，k=500，y 随 x 的增大而减小，当 x=34 时，y 有最大值，最大值为：5034+15000=13300（元） ，答：当购进电冰箱 34 台，空调 66 台获利最大，最大利润为 13300 元（3）当厂家对电冰箱出厂价下调 k（0k100）元，若商店保持这
13、两种家电的售价不变，则利润 y=（21002000+k）x+（17501600） （100x）=（k50）x+15000，当 k500，即 50k100 时，y 随 x 的增大而增大， ，当 x=40 时，这 100 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 40 台，空调 60 台；当 k500，即 0k50 时，y 随 x 的增大而减小， ，当 x=34 时，这 100 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 34 台，空调 66 台；答：当 50k100 时，购进电冰箱 40 台，空调 60 台销售总利润最大；当 0k50 时，购进电冰箱 34 台，空调 66 台销售总利润最大【总结升华】本题考查
14、了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键4、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为 A 楼、B 楼、C 楼，其中 A 楼与 B 楼之间的距离为 40 米，B 楼与 C 楼之间的距离为 60 米已知 A楼每天有 20 人取奶，B 楼每天有 70 人取奶，C 楼每天有 60 人取奶，送奶公司提出两种建站方案方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天 A 楼与 C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于 B 楼所有取奶的人到奶站的距离之和(1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置?
15、(2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置? 【思路点拨】 （1）设取奶站建在距 A 楼 x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为 y米，求出各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距 A 楼 x米处，列出等量关系式，解得 x【答案与解析】 解：(1)设取奶站建在距 A 楼 x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为 y米当 0 40 时，y20 x 70(40 )60(100 )1l0 x8800当 x40 时， y的最小值为 4 400当 40 100 时，y20 70( 40)60(100 x)30 3200此时， 的值大于 4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在 B 楼处(2)设取奶站建在距 A 楼 米处当 0 x40 时，20 x60(100 x)70(40 x)，解得 320（舍去） 当 40 100 时，20 60(100 )70( 40)，解得 x80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距 A 楼 80 米处 【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数 y随 x的变化，结合自变量的取值范围确定最值
