1、 第三章 一维射影几何学3.1 点列与线束维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几 何学和线几何学都是二维的。点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那条定直线称为点列的底，设 ， 为定直线上二点， 为点列的动点，则：定义 1定义 2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。那个定点称为线束的心。A B Cx =u a +v b设 为过定点的直线为线束的动直线 ,则由代数知识 ,必有数 使得所以 ,点列上任意一点 M的坐标可表为 :的形式 ,当时 , 可表为的形式 .为 点列的基点3.2点列的交比定义：设 A、 B、 C、 D为共线的四点，把 定义为这四点(有向线段，
2、而非距离）交比可由简比求得定理 1：设取 A和 B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：则 按顺序点列的交比，用符号来记定理 2： 设点列上四点 A、 B、 C、 D的齐次坐标为 P+ 推论：设点列四点 A、 B、 C、 D的齐次坐标是则点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有 4!=24种排列，故有 24种交比。这 24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不同的组别，每组的值是相同的。定理 3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。定理 4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数定理 5：交换中间两点，则交比值转变为 1与原值之差则由定理 3定理 5可知
3、： 24个交比一般取六个不同的数值：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）讨论三种特殊情况： 令令若（ 1）当 六组交比值分别为； 1， 1， 0， 当 六组交比值分别为：（ 2）当 六组交比值分别为 -1， -1， 2，六组交比值分别为六组交比值分别为（ 3）第一种情况 时 则若非点 A与 B重合，四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于第二种情况说明 C点分割线段 AB 的值与 D点分割线段 AB的值只差一个符号，一个是内分点，一个是内外分点定义 3：当 时，则称 C， D两点调和分割 A， B两点或者称为 A， B两点所成的点偶与 C， D两点所成的点偶成调和共轭例 1：三角形的内角平分线与外角平分线定理 6：设 0为 CD的中点，则例 1：已知点 A（ 1， 4， 1）， B（ 0， 1， 1）， C（ 2， 3， -3）在一条直线上，试求在这条直线上的第四点 D的齐次坐标，使交比（ AB， CD） =解 :将 A,B两点取为基点 ,C点表为 A,B两点的线性组合AB CDE作业： 1， 4， 5， 6
