1、第五节 几何学的发展1. 1 几何学简介2. 2 欧几里得几何学3 解析几何1. 4 射影几何学2. 5非欧几何学3. 6 黎曼非欧几何4. 7 拓扑学5. 8 几何学的统一1 几何学简介几何学是研究 空间 关系的 数学 分支，有时简称为几何。中文 “几何 ”一词，为明代 徐光启 所创，希腊语原意为 “测地术 ”。几何学的发展：欧几里得几何学（约公元前 300年）；解析几何学（ 17世纪）；射影几何学（ 18世纪）；非欧几何学（ 19世纪）；微分几何学（ 19世纪）；黎曼几何学（ 19世纪）；拓扑学（ 19世纪）；代数几何学（ 20世纪）；分形几何（ 20世纪）2 欧几里得几何学2.1 几何原
2、本欧几里得 (Euclid,公元前 330-275年 )古希腊著名的天文学家和数学家。 “原本 ”的希腊文意指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分 13卷，包括有 5条公理、 5条公设、 119个定义和 465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。第一、二、三及四卷包含了平面几何的一些基本内容。第五卷讲比例论，第六卷讲几何代数问题，第七、八、九卷是关于数论的内容，第十卷讨论不可公度量，最后三卷是立体几何问题。公设1 假定从任意一点到任意一点可作一直线2 一条有限直线可不断延长3 以任意中心和直径可以画图4 凡直角都彼
3、此相等5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交 .欧几里得原本可以说是数学史上的第一座理论十碑它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证白明的基本原理 公设或公理这就是后来所谓的公理化思想。特点 ：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然；2.2 圆锥曲线欧几里得二次曲线；阿基米德（ Archimedes， 公元前
4、287-212年）；厄拉多塞（ Eratosthenes 公元前 274-194年）论圆锥曲线；阿波罗尼奥斯（约公元前 262-前 190）圆锥曲线论，全书共八卷，含 487个命题，与原本一起被誉为古希腊几何的登峰造极之作。3 解析几何1629费马平面与立体的轨迹引论1637笛卡尔几何学将代数与几何相结合，引入了变数，数学进入变量数学时期。4 射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学。4.1 产生背景绘画、建筑透视法 阿尔贝蒂（ L.B.Alberti,1404-1472， 意大利）论绘画1435 投影线、截影等
5、。4.2 发展德沙格 (G Desargues， 15911661 ， 法国 )1639年试论圆锥与平面相交结果 70多个射影几何术语，无穷远点，无穷远线。德沙格定理： “如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立 ”交比不变性定理；对合；调和点组线可以看作具有无限长半径的圆的一部分；焦点相合的椭圆退化为圆；焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线等等。帕斯卡 (B Pascal， 16231662 ， 法国 ) 16岁 (1639)，约八页的小册子略论圆锥曲线帕斯卡定理： “内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。 ”彭赛列（ J.V.Poncelet,1788-1867） 1822 论图形的射影性质几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。莫比乌斯（ A.F.Mobius,1790-1868） 解析法，齐次坐标施陶特（ K.G.C.von Staudt） 建成第一个严格的射影几何演绎体系。
