1、1函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)(xf（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 )(xff2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称：函数 关于 对称)(xfya)()(xaff也可以写成 或 (af2x )2(xaff若写成： ，则函数 关于直线)()(bff )(fy对称22)(xbx证明：设点 在 上，通过 可知，),(1y)(xf )2()xafxf，即点 上，而点1af)(,1fy也 在与点 关于 x=a 对
2、称。得证。),(1x),(y说明：关于 对称要求横坐标之和为 ，纵坐标相等。a2 关于 对称，函数 关于 对称11(,)(,)y与 xa)(xfya(fxf 关于 对称，函数 关于 对称11(,)(2,)xay与 )(f(ff 关于 对称，函数 关于 对称11(,),)yx与 a)(xfya2(ff（2）函数的点对称：函数 关于点 对称)(xfy),(babxaff2)()(或 xf22上 述 关 系 也 可 以 写 成若写成： ，函数 关于点 对称cf)()( )(fy)2,(c2证明：设点 在 上，即 ，通过),(1yx)(xf)(1xfybaf22可知， ，所以 ，所以点f)(11 11
3、12)()( ybfaf 也在 上，而点 与 关于 对称),2(1ybxaxf2,ybx,x),(a得证。说明: 关于点 对称要求横坐标之和为 ,纵坐标之和为 ,如),(baa2b之和为 。()ax与 （ 2（3）函数 关于点 对称:假设函数关于 对称，即关于任一个(xfyyby值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 对称。但在曲线 c(x,y)=0，则有可能会出现关于 对称，比如圆b它会关于 y=0 对称。04),(2xyc（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 yfg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)。复合函数 yfg(x)为奇函数，
4、则 fg(x)fg(x)。性质 2、复合函数 yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)；复合函数 yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)。性质 3、复合函数 yf(xa)为偶函数，则 yf(x)关于直线 xa 轴对称。复合函数 yf(xa)为奇函数，则 yf(x)关于点(a,0)中心对称。总结：x 的系数一个为 1，一个为-1，相加除以 2，可得对称轴方程总结：x 的系数一个为 1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。总结：x 的系数同为为 1，具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、 与 关于 X 轴对称。()yf()yfx证明
5、：设 上任一点为 则 ，所以 经过点1(,)y1()yfx()yfx1(,)x 与 关于 X 轴对称， 与 关于 X 轴对1,y1(,)x1()f()f称.3注：换种说法： 与 若满足 ，即它们关于)(xfy()ygfx)(xgf对称。0y2、 与 关于 Y 轴对称。()fx()f证明：设 上任一点为 则 ，所以 经过点1(,)xy1()fx()yfx1(,)y 与 关于 Y 轴对称， 与 关于 Y 轴对1(,)x1(,)()f()f称。注：因为 代入 得 所以 经过点1(,)y()fx111()(yfxf()yfx1(,)x换种说法： 与 若满足 ，即它们关于)(f()gf )(gf对称。0
6、()()(gxffx3、 与 关于直线 对称。yf2yaa证明：设 上任一点为 则 ，所以 经过点()1(,)y1()fx(2)yfax1(2,ax 与 关于 轴对称 ， 与 关1()y1(2,)axa()f()f于直线 对称。注：换种说法： 与 若满足 ，即它们)(f()2)ygfx)2()xagxf关于 对称。ax4、 与 关于直线 对称。)(fy)(2xfya证明：设 上任一点为 则 ，所以 经过点1,)y1()fx)(2xfay11(,2)xa 与 关于 轴对称 ， 与 关于直线y1(,)xya)(fy)(f对称.注：换种说法： 与 若满足 ，即它们)(f()2()gxfxaxgf2)
7、(关于 对称。ay5、 关于点(a,b)对称。)2()(afbxf与4证明：设 上任一点为 则 ，所以 经过()yfx1(,)xy1()fx2()ybfax点 1(2,ab 与 关于点(a,b)对称， 关)x1(,2) )()(ff与于点(a,b)对称.注：换种说法： 与 若满足 ，)(xfy()2()ygbfaxbxagxf2)()即它们关于点(a,b)对称。(2)(2)()gaxbfaf6、 与 关于直线 对称。fyyxb2bax证明：设 上任一点为 则 ，所以 经过点()1(,)y1()f()yfax, 经过点 , 与 关于直线1(axyfxx1,ax1,b对称，2b 与 关于直线 对称
8、。)(xfy()yfxb2x三、总规律：定义在上的函数 ，在对称性、周期性和奇偶性这三条fy性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 T，使得)(xfy当 x 取定义域内的每一个值时，都有 都成立，那么就把函数)(xfT叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有的周)(fy期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数 满足如下关系式，则)(xfy Txf2)(的 周 期 为A、 B、(Tf )(1)(1( xfffTxf 或C、 或
9、 （等式右边加负号亦成立）)(1)2fxf2xffD、其他情形5（2）函数 满足 且 ，则可推出)(xfy)()(xaff)()(xbff即可以222() ababafxf 得到 的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于)x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足 则可以推出其周期是 2T，且可以推出对)()(xfTxf称轴为 ，根据 可以找出其对称中心为kTx2)(z)2()Tff（以上 ）)0(k，z0如果偶函数满足 则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中)()(xfTxf心为 ，根据 可以推出对称轴为),2(Tzk)2TfkTx2（以上 ）)
10、zk0（4）如果奇函数 )(xfy满足 )()(xff（ 0） ，则函数 )(fy是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数 y满足 )(xTff（ 0T） ，则函数 )(f是以 2T 为周期的周期性函数。定理 1：若函数 在 R 上满足 ，且xxaff)(（其xbf)(中 ） ，则函数 以 为周期.baya2定理 2：若函数 在 R 上满足 ，且xf xaff)(xb)(（其中 ） ，则函数 以 为周期.bafy2定理 3：若函数 在 R 上满足 ，且xf xaf)(（其xbf)(中 ） ，则函数 以 为周期.baya4定理 4：若函数 f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 都对称，则
11、 f(x)是周6期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 5：若函数 f(x)的图像关于点（a,c ）和(b,c)都成中心对称，则 f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 6：若函数 f(x)关于点（a,c ）和 x=b 都对称，则 f(x)是周期，4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） 。定理 7：若函数 f(x)满足 f(x-a)=f(x+a)(a0),则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期。定理 8：若函数 f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0)(或 f(x+a)= 或 f(x+a)=)(1xf)则 f(x)周期函数， 2a 是它的一个周期。(1xf定理 9：若函数 ,则 f(x)是周期函数，4a)0,1)(1)( axfaxf是它的一个周期。若 f(x)满足 ,则 f(x)是周期函数，2a 是它)0,1)(1)( axfaxf的一个周期。
