“双勾函数”的性质及应用.doc

1、 “双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数 的最小值254xy问题分析：将问题采用分离常数法处理得， ，此2224114xyx时如果利用均值不等式，即 ，等式成立的条件为2214yx，而 显然无实数解，所以“ ”不成立，因而最小值2214x22x不是 ，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1 “双勾函数”的定义我们把形如 （ 为常数， ）的函数称为“双勾函数” 因为函数()kfx0k（ 为常数， ）在第一象限的图像如“” ，而该函数为

2、奇函数，其图()kfx0像关于原点成中心对称，故此而得名2类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质（1） “二次函数”的性质当 时，在对称轴的左侧， 随着 的增大而减小；在对称轴的右侧， 随着0ayxyxOy2bxa2bxa0a0二次函数图像 xykOy(0)kx“双勾函数”图像的增大而增大；当 时，函数 有最小值 x2bxay24acb当 时，在对称轴的左侧， 随着 的增大而增大；在对称轴的右侧， 随着0axy的增大而减小当 时，函数 有最大值 x2bxay24acb（2） “双勾函数”性质的探究当 时，在 左侧， 随着 的增大而减小；在 的右侧，

3、随着0kxxky的增大而增大；当 时，函数 有最小值 xxy2k当 时，在 的左侧， 随着 的增大而增大；在 的右侧，kxxk随着 的增大而减小当 时，函数 有最大值 yxxyk综上知，函数 在 和 上单调递增，在 和 上()f,k,),0)(,k单调递减下面对“双勾函数”的性质作一证明证明：定义法设 R，且 ，则12,x12x121212 1212()() ()xkak kfxf xA以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先 ， 就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令 ，0x 120x可得到 ，因此又找到两个分界点 ， 这样就把 的定义201kxkk()f域分为 ， ， ， 四个区间，

4、再讨论它的单调性(,0)(,)设 ，则 ， ， ，12xk12x120x12xk ，即 1211212()() 0xkkfxfxA12()fxf 在 上单调递减f0,同理可得， 在 上单调递增；在 上单调递增；在 上()fx,)k(,k,0)k单调递减故函数 在 和 上单调递增，在 和 上单调递()fx,k,),0)k(,k减性质启发：由函数 的单调性及 在其单调区间的端点处取值()(0)fx()fx的趋势，可作出函数 的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有y关性质此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能4 “二次函数”与“双

5、勾函数”在处理区间最值问题上的类比（1） “二次函数”的区间最值设 ，求 在 上的最大值与最小值fxabxc()()20fx()mn，分析：将 配方，得对称轴方程 ，ba2当 时，抛物线开口向上0若 必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；bamn2，若 ，此时函数在 上具有单调性，故在离对称轴 较远， mn， xba2端点处取得最大值，较近端点处取得最小值当 时，抛物线开口向下0若 必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；bamn2，若 ，此时函数在 上具有单调性，故在离对称轴 较远， mn， xba2端点处取得最小值，较近端点处取得最大值以上，作图可得结论当 时，a0；

6、max121()()2()bfnafnm如 图如 图， ，min345()()2() ()()()2bfafxnbfma如 图 如 图如 图， ， ，nx图 1nx图 2nx图 3mnx图 4mnx图 5当 时，a0；max678()()2() ()()()2bfnaf nbfma如 图 如 图如 图， ， ，min910()()()12fnfxba如 图如 图， ，（2） “双勾函数”的区间最值设 ，求 在 上的最大值与最小值()(0)kfxfx()mn，分析：当 时，其图像为第一象限部分若 ，则函数必在界点 处取得最小值，最大值需比较两个端点处的mn， k函数值；若 ，此时函数在 上具有单

7、调性，故在离直线 较远端点处k， mn， xk取得最大值，较近端点处取得最小值当 时，其图像为第三象限部分0x若 ，则函数必在界点 处取得最大值，最小值需比较两个端点kn， xk处的函数值；若 ，此时函数在 上具有单调性，故在离直线 较远端点m， mn， xk处取得最小值，较近端点处取得最大值以上，作图可得结论当 时，0xnx图 6nx图 7nx图 8mnx图 9nx图 10max()(,(),)(,.fknf fkmnf， 如 图 1如 图 12)， 如 图 3min()(,(),.fknfxf， 如 图 1)如 图 2)， 如 图 3当 时，0xmax()(,(),.fnkf mnf， -

8、如 图 14)如 图 5， 如 图 6min()(,(),),(,.fkfxfnnfm， -如 图 14)如 图 5)， 如 图 6二、实践平台例 1 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 吨至 吨之间时，其生产的总1502成本 （万元）与年产量 （吨）之间的函数关系式近似地表示为yx问：2304x（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；mnkmnkxmnkx图 11 图 12 图 13x图 14knx图 15kmnx图 16k（2）每吨平均出厂价为 万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大16利润分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使

9、问题轻松获解解：（1）由题意可知，每吨平均成本为 万元ySx即 ，因为函数在区间 上为减401403()3yxS(0,2函数，在区间 上为增函数2,)所以当 时，函数 有最小值为0x 140()31yxSx（万元） ，14()302S最 小所以当年产量为 吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为 万元0（2）设年获得总利润为 万元，Q则 ，2 2116304(3)1910xQxyx当 ， ，230(5,)9最 大故当年产量为 吨时，可获得最大利润 万元12评注：本题的关键是用年产量 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，x在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计

10、算过程函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题例 2 甲、乙两地相距 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 km/h，已知s c汽车每小时的运输成本（以元为单位） ，由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为 ，固定部分为 元vba（1）把全程运输成本 （元）表示为 (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域yv（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶分析：要计算全程的运输成本 ( )，而已知每小sbvs)()(20 c时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本( )，所要解决的

11、问题是求 何时取最小值，显sbvavsy)()(20 ca然要对 的大小进行讨论，讨论的标准也就是 与 的大小c b解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，因此全程运输成本为sv，又据题意 ，故所求函数及其定义域分别为：sbvavsy)()(2 v0 c， )(bvasy,0(c（2）设 ，()()abufv 在 上是减函数，在 上是增函数,0ba,a若 ，结合“双勾函数”的性质知， c当 时运输成本 最小bavy若 ，函数在 上单调递减，所以当 时，全程运输成本最小 c,0(ccv评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受

12、和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题例 3（2006 安徽高考）已知函数 在 R 上有定义，对任意实数 和任意实数 ，()fx0ax都有 ()(faxf（）证明 ；0)（）证明 其中 和 均为常数；0(.kxfh， ， kh（）当（）中的 ，设 ，讨论 在 内1()()0gxfx()gx0)，的单调性并求最值分析：承接第（）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题证明：（）令 ，则 ， ， 0x0faf0f（）令 ， ， ，则 ax2fx假设 时， R） ，则 ，而 ，()fkk2fxkx，即 成立2fxfx令 ， ， ，

13、a02fxf假设 时， ，则 ，而 ，()fh)2h2xfhx ，即 成立 成立2fxf()fxh,0kxfh（）当 时， ， 02111()gfkxfx由“双勾函数”性质知在 上为减函数，在 上为增函数，(,k,所以当 时， 1xkmin)2g评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想” 所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将

14、本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉例 4（2001 广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为 cm ，画面的宽与高的4802比为 ，画面的上、下各留 cm 空白，左、右各留 cm 空白怎样确定画面的高与(1)85宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求 ，那么 为何值时，能使宣传23,4画所用纸张面积最小?分析：设定变元 ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问x题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解解：设画面高为 cm，宽为 cm，则x2480设纸张面积为 cm ，则有

15、S2,2(16)0)(16)xxx将 代入上式得, ,2585032()S令 ，则 ，(0)t()1()0tt函数 在 上为减函数，在 上为增函数，S5,85,8所以当 时， 取最小值，tS此时 ，高： cm，宽： cm5(1)8480x58x如果 ，则 ，23,4235,)t所以函数 在 上为增函数，故当 时， 取最小值，此时 S,23tS23评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解