1、离 散 数 学浙江工业大学计算机学院浙江工业大学软件学院第五章 代数结构n 引言n 5-1 代数系统的引入n 5-2 运算及其性质n 5-3 半群和独异点n 5-4 群与子群n 5-5 阿贝尔群和循环群n 5-6 置换群与伯恩赛德定理n 5-7 陪集与拉格朗日定理n 5-8 同态与同构n 5-9 环与域 本章复习* 离散数学 2n 代数系统也称为近世代数或抽象代数，是近代数学的重要分支。n 法国数学家伽罗瓦 1811-1832在 1832年运用群的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题 ，成 为近世代数的创始人 。n 中国数学家在抽象代数学的研究始于 30年代。当中已在许多方面取得了有意
2、义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。n 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。* 离散数学 3n 本章讨论的数学结构就是 由集合上定义若干运算而组成的系统 代数系统 。n 在计算机科学中，研究机器可计算性语言、算法计算的复杂性、刻划抽象的数据结构等等，都需要这现代代数系统知识。* 离散数学 4代数结构的知识体系半群与群 环与域 格与布尔代数分类成分：集合及运算公理：运算性质代数系统的构成代数系统的同态与同构代数系统间的关系映射子代数积代数商代数等价关系笛卡儿积子集新代数系统同种的同类型的产生5.1 代数系统的引入n 先引进在一个集合 A上的 运算
3、 概念 。* 离散数学 6n 一元运算例 1：将实数集合 R上的每一个数 a 0映射成它的倒数 。例 2： 求一个复数的共轭复数（复数集合 C上的一元运算）。 n 二元运算例 3：在集合 R上，对任意两个数所进行的普通 ”+”和 ”。例 4： f： NNN ， f() x +y是自然数集合 N上的二元运算。以上运算的共同特征：运算结果都是在原来的集合R或 N中。* 离散数学 7n 具有这种特征的运算是 封闭 的，简称 闭运算 。相反的，没有这种特征的运算就是不封闭的。例 5： f： NNN ， f() x - yN对减法 不封闭 。例 6：自动售货机系统 不封闭思考：例 5例 6中的运算封闭吗
4、？* 离散数学 8* 一元硬币 二元硬币一元硬币 矿泉水 可口可乐二元硬币 可口可乐 酷儿n 封闭 定义： 对于集合 A，一个从 An到 B的映射，称为集合 A上的一个 n元运算 。如果 BA，则称该 n元运算是 封闭 的。n 不是所有的代数系统都是封闭的，但一般情况下，我们总是讨论封闭的代数系统。* 离散数学 9例：以下哪些运算是封闭的？(1) 自然数集合 N上的减法运算。(2) 整数集合 I上的除法运算。(3) 设 A=1,2,3,10, 二元运算 x*y=质数 p的个数，使得 x py。* 离散数学 10不封闭不封闭不封闭，当 x=y=4时， x与 y之间的质数个数为 0，而 0不属于 A集合。
