1、方阵 与其伴随矩阵 的关系 A*A摘 要 本文给出了 阶方阵 的伴随矩阵 *的定义,讨论了 阶方阵 与其伴随矩阵 *A之间的关nn系,例如 与 之间的关系，并且给出了相应的证明过程.A*关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。1伴随矩阵的定义.设 阶方阵n.令 ,其中 是nnnnij aaA 212121nnnnij AAA 212211* ij的代数余子式.则称 *A为 的伴随矩阵.ija2矩阵 与其伴随矩阵 的关系及其证明.2.1 = = .当 可逆时,有 ,即 1.*AIdet *1detA 1de
2、tA证明：因为 ;,0,t21 jiaAajnijiji 若 若 ;,det21 jiAnjijiji 若 若所以 = = = .*AAAdet00dett It当 是可逆矩阵时, ,所以由上式得det= =*det1A*det1I即 .*1det证毕.2.2 = .(显然)*TAT2.3 若 可逆，则 = .(显然)*11A2.4 设 为 阶方阵 ，则 2.An2nArr10*引理 1.若 矩阵 , 满足 ,则 .AB0B证明 因为 ,所以 的列向量是以 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若 ,则0B nAr.由克拉默法则知,方程只有零解,从而 ,进而 ;detA0r若 ,则方程组的基础解系
3、中含 个向量,于是 ,因此有nrnrnB.Br证毕.下面证明 2.4.当 时, 的每一个 阶代数余子式都为零.所以 *A为零阵,所以 .1nAr 1n 0*Ar当 时， , = = .由引理 1 知, + .因为0detA*AIdet0rn则 ,知 至少有一个 阶子式不为零.即 *至少有r*r n一行不全为零. 所以 .因为 ,从而 .11*r*r 当 时， 可逆，由 1 知， A也可逆.所以 .nAr A证毕.2.5 .1*detetn 当 可逆时， .A1*tA所以 .*eet n1detnA 当 不可逆时， ， .1r01) 当 时2n，由 2.4 知 .所以 .1Ar*Ardet*A，
4、 ， .则1nArnAr1* 0det*A0detet1*nA2) 当 时， ,即 ， ，则 .0det t证毕.2.6 当 可逆时,若 为 的特征值,则 是 的特征值.当 时， 的特征值为A0A0det*A1nAr*零，并是 重的.n引理 2. 设 可逆,若 为 的特征值,则 是 的特征值.0011证明:若 ,则由 得到 ,于是 ,这与 可逆矛盾,所00AE0An0A以 .同时由 还有0.10101001 AEAEAEAnn 因此 ,即 是 的特征值.1001引理证毕.下面证明 2.6.不妨设 的特征值为 .则由 有*A*AEdet*. ,这说明 是 的特征值.1*10 En 0A*1由引理
5、 2 知, ,所以 ,即 是 的特征值.0*A0*0*A若 ,(即 )时, ,所以 的特征值 且是 重的.*r1nr*0*n2.7 若 为可逆矩阵,则 也是可逆矩阵.*证明:由 2.1 即可得到此结论.2.8 若 为对称矩阵,则 也是对称矩阵.A*A2.9 .*B证明:当 , 均可逆时 , , ,所以1*det1*detB.*11* )(det)det( ABABBAB 当 , 不都可逆时,则当 足够大时,存在 使得 , 均可逆,此时有xxnInxIB,这是关于 的恒等式,即 取零* )()()( nnn xIIxI时,该等式也成立,即 .AB证毕.2.10 若 为正交矩阵,则 也是正交矩阵.A*证明:若 为正交矩阵,则 且 ,由 2.2 知 .再由 2.9IAT1det*TTA知 ,所以 也是正交矩阵.TT* *A证毕.2.11 ,其中 是 阶方阵 .An2*n2证明:因为 ,所以E*1) 当 时, .则011*1* AAAnn2112) 当 时,由 2.4 知 .0r当 时, ,故 .2n*rAn2*当 时,令 ,则 ,dcbaAacbd*.An2*证毕.通过以上的证明,说明了 阶矩阵 与其伴随矩阵 有很多联系和继承性 ,理解和掌握这些联*系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义.
