1、CDOBAEP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形 ABCD，圆心为 O，延长 BC 至 E，AC 、BD 交于 P，则：1、 圆内接四边形的对角互补 ：ABC+ADC=180， BCD+BAD=1802、 圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角：DCE= BAD3、 圆内接四边形对应三角形 相似： BCPADP4、 相交弦定理：APCP=BPDP5、 托勒密定理：ABCD+ADCB=ACBD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。CABDO如图，连接 OB、OD 则A= ，C= 21+=360 A+ C= 360=
2、18021同理得B+D=180（也可利用四边形内角和等于 360）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形 ABCD证明：A+C=180，B+ D=180连接 BO 并延长，交O 于 E。连接 AE、CE。则 BE 为 O 的直径BAE=BCE=90BAE+BCE=180BAE+BCE-DAE+DAE=180即BAE-DAE+ BCE+DAE=180DAE=DCE（同弧所对的圆周角相等）BAE-DAE+BCE+DCE=180即BAD+BCD=180A+C=180B+D=360-（A+C）=180（四边形内角和等于 360）【证明】方法三：利用四边形内角和为 360及同弧所对
3、的圆周角均相等连接 AC、BD，将A、B、 C、D 分为八个角1、2、3 、 4、5、 6、 7、 81+2+3+4+5+6+7+8=360（四边形内角和为360）4= 1，7=2，8= 5，3=6（同弧所对的圆周角相等） 1+2+5+6= 360=180 1+2=A5+ 6=C A+ C=180B+D=360-（A+C）=180（四边形内角和等于 360）2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明CDOBAEP如图，求证：DCE= BADBCD+DCE=180（平角为 180）BCD+BAD=180（圆内接四边形的对角互补）DCE=BAD3、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证： B
4、CPADP，ABPDCP证明：CBP=DAP，BCP=ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又APD=BPC（对顶角相等）BCPADPBAP=CDP，ABP= DCP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）A OB CD12435678又APB= DPC（对顶角相等） ABPDCP4、相交弦定理仍用上图，求证：APCP=BPDP证明：BCPADP（圆内接四边形对应三角形相似） （相似三角形的三边对应成比例）CPDBAAPCP=BPDP CDOBAEP5、托勒密定理求证：如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，那么 ABCD+ADBC=ACBD【证明】方法一：作辅助线 AE，使BA
5、E=CAD，交 BD 于点 EABE=ACD（同弧 AD 所对的圆周角相等）又BAE=CADABEACD ，即 ABCD=ACBE (1)CDBEABAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=EAD又ACB=ADE（同弧 AB 所对的圆周角相等）ABCAED ，即 BCAD=ACDE (2)ADCEB(1)+(2),得ABCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC（BE+DE）=ACBD【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积
6、，其推论是任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+ADBC，而且当 ABCD 四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+ADBC，当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号。证明如下：在四边形 ABCD 中,连接 AC、BD, 作 ABE=ACD,BAE=CAD，则 ABEACD BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/ADBE*AC=AB*CD ,AB/AE=AC/ADBAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=DAE又 AB/AE=AC/AD,ABCAEDBC/ED=AC/ADED*AC=AD*BC+,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又 BE+EDBDAC*BDAB*CD+AD*BC从而命题得证，且仅当 E 点落在线段 BD 上时，等号成立此时ABD=ACDABCD 四点共圆托勒密定理逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接圆。BACE OD
