1、 第 1 页，共 9 页惠州市 2019 届高三第一次调研考试理科数学 2018.07一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. （1 ）复数 的共轭复数是（ ） (A) (B) (C) (D)52i2i2i2i2i（2 ）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值集合为（ ）(A) 21Mx1NxaNMa1(B) (C) (D) ,0,0（3 ）函数 的最小正周期为 ，则 （ ）22()cosin+fxx=(A) (B) (C) (D) 2112（4 ）下列有关命题的说法错误的是（ ）(A)若“ ”为假命题，则 与 均为假命题；pqpq(B)“ ”是“ ”的充分不必要条件；1x
2、x(C)若命题 ，则命题 ；200R： ， 2R0x： ，(D)“ ”的必要不充分条件是“ ”.sinx6（5 ）已知各项均为正数的等比数列 中， ， ， ， 成等差数列，则数列 的前na132a54na项和 （ ）nS(A) (B) (C) (D)2112n12n2n（6 ） “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） 。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）(A) (B) (C
3、) (D)（7 ）若函数 ， （ ，且 ） ，且 ，则函数 ，2()xfa()log|ax01a(2)0fg()fx在同一坐标系中的大致图象是（ ）gx第 2 页，共 9 页(A) (B) (C) (D)（8 ）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次，得到如下表所示的数据.观测次数 i1 2 3 4 5 6 7 8观测数据 ia40 41 43 43 44 46 47 48在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 是这 8 个数据的平均数)，则输出的 的值是（ ）S(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9 （9 ）已知 和 分别是双曲线 的两个焦点，1F2
4、 210,xyab和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，ABO1F且 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )2(A) (B) (C) (D) 23+13131（10 ）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 ，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）2(A) (B) (C) (D) 108723612（11 ）已知函数 ，若 且 对任意 恒成立，则 的最大值为（ ()lnfxxkZ()(xfxk）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6（12 ）设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 两点，与抛物线准线交于点 ，2yxF2,0,ABC若 ，则 （ ） (A) (B)
5、4 (C) 3 (D) 25ACFBS3二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。（13 ）若实数 x，y 满足的约束条件 ，则函数 的最大值是 10xy2zxy输出 S结束输入 iai=1是开始 2()iSi= i +1S=0i 8 ? 否S = S / 8第 3 页，共 9 页（14 ）已知向量 (2,1)(,)abx，且 ab与 共线，则 的值为 x（15 ）某公司招聘 5 名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中 2 名英语翻译人员不能分给同一部门，另 3 名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 （16 ）已知数列 是公差不为 0 的等差数列，对任意大于 2 的正整数
6、 ，记集合na n的元素个数为 ，把 的各项摆成如图所示的三角,1ijxNjijnnc形数阵，则数阵中第 17 行由左向右数第 10 个数为_ 3c4567891012三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17 ） （本小题满分 12 分）在 中，锐角 满足 .ABC25sincos32C（1 ）求角 的大小；（2）点 在 边上， ， ， ，CP3PAB7in38AP求 的面积。AB（18 ） （本小题满分 12 分）如图，直四棱柱 的底面是菱形，侧面是正方形， ， 是棱 的1DCBA 06DABECB延长线上一点，经过点 、 、 的平面交棱 于点 ， 1E1FB21（
7、1）求证：平面 平面 ；1（2）求二面角 的平面角的余弦值CA1（19 ） （本小题满分 12 分）如图，椭圆 E： 经过点 ，且离心率为 210xyab,1A2B1A1CF1DE第 4 页，共 9 页（1）求椭圆 E 的方程；（2）经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P，Q （均异于点 A） ，,1k证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值（20 ） （本小题满分 12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 70 元，每单抽成 2 元；乙公司无底薪，40 单以内 (含 40 单)的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6 元假设同一公
8、司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表：（1 ）现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；（2 ）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为 (单位：元), 求 的分布列和数学期望； XX（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（21）（本小题满分 12 分）已知函数 ，2xfxeaR（1）试确定函数 的零点个数；fx（2）设 ， 是函数 的两个零点，证明： 12 12x（22 ） （
9、本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C ，半径 ,43r甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 10第 5 页，共 9 页（1 ）求圆 C 的极坐标方程；（2）若 ，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，0,4l2cosinxtyt直线 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长 的取值范围l AB惠州市 2019 届高三第一次调研考理科数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C
10、 D A B A B C C B D（5 ） 【解析】A ；设 的公比为 ，则 ， ， ，naq5342a233aqaq23q或 （舍） ， ；2q 1121nnnS（6 ） 【解析】B；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形，故选 B；（7 ） 【解析】A ；由题意 是指数型的， 是对数型的且是一个偶函数，由2xfalogax，可得出 ，故 ，故 ，由此特征可以确定 C、D 两选项0fg0glo20a1不正确，且 是一个减函数，由此知
11、 B 不对，A 选项是正确答案，故选 A；2xf（10 ） 【 解析】C；可求出正四棱锥的高为 3设其外接球的半径为 ，则由两者的位置R关系可得 ，解得 ，所以 故选 C.223RR2436S（11 ） 【 解析】B ；考虑直线 与曲线 相切时的情形。()ykx()yfx设切点为 ，此时 ，()mf， ） 02fm即 ，化简得： ，ln2l4ln0设 ，由于 ， 。()4g22()gee33()42ln0ge故 ，所以切线斜率 的取值范围是 ，又 ， ，选 B；23em=lkfm4,5kZmax（12 ） 【 解析】D；设直线 ， ，将直线方程代入抛物线方程得：:2lyx12,AyBx，由韦达
12、定理得： ，分别过点 作准线的垂线22410kxk,AB，垂足分别为点 ， ，即1,AB1,B1125ACFFSxB，解得 ， ，故选 D。二、填空题：（13） （14 ） 12530x1x232（15 ） （16） 23第 6 页，共 9 页（15 ） 【 解析】由题意可得，有 2 种分配方案：甲部门要 2 个电脑编程人员，则有 3 种情况；两名英语翻译人员的分配有 2 种可能；根据分步计数原理，共有 32=6 种分配方案甲部门要 1 个电脑编程人员，则有 3 种情况电脑特长学生，则方法有 3 种；两名英语翻译人员的分配方法有 2 种；共 32=6 种分配方案由分类计数原理，可得不同的分配方
13、案共有 6+6=12种。（16 ） 【 解析】设 ，则 ，由题意 ，当 ，1nad12ijaijd1ijn1i时， 取最小值 1，当 ， 时， 取最大值 ，易知 可2jij n232j取遍 ，即 .数阵中前 16 行共有 个数，所1,3， 3nc6以第 17 行左数第 10 个数为 。14829三、解答题：（17）解析：（1） ， 5sincos32C51cos23C2 分， ，4 分13coss2i2C3cos6又 ， . 6 分766（2 ）由（1 ）可知 为等边三角形，且 ，AP3APB在 中， ，即 ， ， 9 分B2sinsi3257sin819AB，即 ， ，22coAPAPB 2
14、193P2P故 ， 11 分 12 分35BC 53sinABCS（18 ） （ 1）设四棱柱 的棱长为 ， ， ， 1DCa12F1FBE2a由 ， ，得 ， 2 分 ，06DABE02AB3E3a3C ， 是直四棱柱， ，又22EC1ABCD1ABD， ， ， 平面 4 分 平11C1BE面 ，1A平面 平面 5 分1AE1B第 7 页，共 9 页（2）以 为原点， 、 所在直线为 轴、 轴，平行于 的直线 为 轴建立空间直ECEAxy1B1Ez角坐标系，则 ， ， 7 分(0,)3(,0)2a1(,)2Ca设平面 的一个法向量为 ，则 即 ，1EAC (,)npqr13 02nEAqap
15、r320qpr不妨取 ， 由（1）知 ， ，平面 的一个法向量为 (2,03)n1(,0)2Ba3(,0)D1BC二面角 的平面角的余弦值1(,)BDa1EAC1| |3cosn(19)解：（1）由题意知 ，b1， ，所以椭圆 E 的方程为 422a2xy分（2）证明：设直线 PQ 的方程为 yk(x1)1( k2)，代入 ，21xy得(12k 2)x2 4k(k1)x 2k( k2) 0，由题意知 0，设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，且 x1x20，则 ， ， 6 分1224xk122kx所以 9 分1 1212 2Ak xk故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2 12
16、分42（20 ）解：（ 1） 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 ，则 ；4 分M2019()45CP（2 ） （）设乙公司送餐员送餐单数为 ，则a当 时， ； 当 时， ； 38a4152X39456X当 时， ；当 时， ；40604101当 时， 所以 的所有可能取值为 152，156 ，160，166，1726 分27故 的分布列为 ：X152 156 160 166 172第 8 页，共 9 页P10512510 8 分12()526676050EX（）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为 38.9.4.210.4.1395所以甲公司送餐员日平均工资为 元 11 分7由（）
17、得乙公司送餐员日平均工资为 元因为 ，故推荐小明去乙公司应聘12 分662（21 ）解：（ 1）由 得 ，令 ，fxxaexge函数 的零点个数即直线 与曲线 的交点个数，y1 分21xxxge如图，由 得 ，函数 在 单调递增，0g,1由 得 ，函数 在 单调递减。,当 时，函数 有最大值， 3 分1xgxmaxe又当 时， ， ，当 时，20220gx当 时，函数 没有零点；当 或 时，函数 有一个零点；aef f当 时，函数 有两个零点。 6 分0x（2 ）证明：函数 的零点即直线 与曲线 的交点横坐标，fya2xgxe由（1）知 ，不妨设 ，得 ，a1221函数 在 上单调递增，在 上
18、单调递减，2xgxe,函数 在 单调递减，在 上单调递增；f要证 ，只需证 ，只需证 ， 8 分121212fxfx又 ，即要证 0fx0fx由 得 2ag 2222 1xxxeaee构造函数 ，则 ， 10 分xhe1h当 时， ， ，即函数 在 上单调递减， ，1x2x0h,0h即当 时， ，即 . 12 分2f12x（22 ）解：（ 1）点 C 的直角坐标为 ，圆 C 的直角坐标方程,4,为 223xy化为极坐标方程是 4 分cosin10第 9 页，共 9 页（2 ）将 代入圆 C 的直角坐标方程 ， cos2inxty 2213xy得 ，即 6 分2113t2cosin0t ， 7 分2cosi12 9 分1124sin2ABttt ， ， 即弦长|AB|的取值范围是 10 分0,40,3AB2,3综上，原不等式的解集为 10 分6,5
