1、第 13章20世纪数学概观 ()现代数学成果十例 13.1 哥德尔不完全性定理哥德尔 是 奥地利 著名数学家 ,不完备性定理是他在 1931年于 论 及有关系统中的形式不可判定命题 中提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化 ,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑 哥德尔 哥德尔 （ 19061978 ）生于 捷克 的 布尔诺 ，卒于美国 普林斯顿 。早年在 维也纳大学 攻读修读 理论物理、 基础数学 ，后来又转研 数理逻辑 、 集合论 。但 1940年代中就将注意力投放在 哲学 上，并参加哲学小组活动。 1930年获博士学位。其 博士论文 证明了狭谓词演算的有效公式皆可证。之后在维也
2、纳大学工作。 1938年到美国 普林斯顿高等研究院 任职， 1948年加入美国籍。 1953年成为该所 教授 。哥德尔发展了冯 诺伊曼和 伯奈斯 等人的工作，其主要贡献在逻辑学和 数学基础 方面。在 20世纪初，他证明了 哥德尔不完全性定理 ,这一著名结果发表在 1931年的论文中。他还致力于连续统假设的研究，在 1930年采用一种不同的方法得到了 选择公理 的相容性证明。 3年以后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并于1940年发表。他的工作对 公理集合论 有重要影响，而且直接导致了集合和序数上的 递归论 的产生。 性格 哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想法在生前都没有正式发表甚
3、至记录，要逝世后从其手稿找出。 他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求 王浩 在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研究之外的东西，都不公开发表意见。 他亦讨厌旅行。 他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过抑郁症。后来他在普林斯顿的医院 绝食 而死，因为他认为那些食物有毒。 国籍 虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥地利人。他出生在 奥匈帝国 的布尔诺，在十二岁时成为 捷克斯洛伐克 公民，在二十三岁时成为 奥地利 公民。当希特勒 吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。1948年 4月，哥德尔夫妇宣誓成为 美国公民 。在获得美国公民前接受面试时，若不是爱因斯坦等老朋友的拼命阻止，哥德
4、尔对美国宪法较真的探究将使例行的审核程序难以进行下去。 哥德尔第一不完全定理设系统 S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果 S是一致的，则下文的 T与非 T在 S中均不可证。 哥德尔第二不完全定理如果系统 S含有初等数论，当 S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在 S内证明。 第一不完备性定理任意一个包含算术系统在内的 形式系统 中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。 第二不完备性定理任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。 但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。2002年 8月 17日，著名宇宙学家 霍金 在 北京 举行的国际 弦理论 会议上发表了题为 哥德尔与 M理论 的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的 大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。 哥德尔不完全性定理的影响 哥德尔不完全性定理的影响 哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹： “上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。 ”
