1、求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型） 。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法” 。 求动点轨迹的常用方法动点 P 的轨迹方程是指点 P 的坐标（x, y）满足的关系式。1. 直接法（ 1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（ 2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题 已知直角坐标平面上点 Q（2，0）
2、和圆 C： ，动点 M 到圆 C 的切线长等与12yx，求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线 Q解：设动点 M(x,y)，直线 MN 切圆 C 于 N。依题意： ，即MNQ22N而 ,所以22O122MOQ(x-2) +y =x +y -1化简得：x= 。动点 M 的轨迹是一条直线。452. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆 M 过定点 P（4，0） ，且与圆 C： 相切，求动圆圆心 M 的轨迹082xy方程。解：设 M(x,y)，动圆
3、的半径为 r。若圆 M 与圆 C 相外切，则有 MC=r4若圆 M 与圆 C 相内切，则有 MC=r-4而MP=r, 所以MC-MP=4动点 M 到两定点 P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为 4，所以动点 M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。动点的轨迹方程为： 12yx3. 相关点法若动点 P(x， y)随已知曲线上的点 Q(x ， y )的变动而变动，且 x 、 y 可用 x、 y 表示，则0 0将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 上运动,求线段2:(1)4
4、CAB 的中点 M 的轨迹方程。解：设 M(x,y), A( ), 依题意有：BAyx,x= , y=24Ax23Ay则：x =2x-4, y =2y-3, 因为点 A( )在圆 上，所以A By,:(1)4C(点 M 的轨迹方程为： )()223x动点 M 的轨迹为以（2, ）为圆心，1 为半径的圆。234. 参数法例题：已知定点 A（-3,0） ，M 、 N 分别为 x 轴、y 轴上的动点（ M、 N 不重合） ，且 ,点MNAP 在直线 MN 上， 。求动点 P 的轨迹 C 的方程。P23解：设 N(0,t), P(x,y)直线 AN 的斜率 ，3tkAM因为 ，所以直线 MN 的斜率N
5、tkMN3直线 MN 的方程为 y-t= ,令 y=0 得 x= ,所以点 M( ,0)xt22t, )(tyxP),3(2yP由 , 得MN23x= ), y-t= ,则(ttyx2所以动点 P 的轨迹方程为： xy425. 交轨法例题：如图，在矩形 ABCD中， 8,BCEFGH分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线 P与 Q的交点 M的轨迹 的方程。)0(,FQO解：设 (,)Mxy，由已知得 (4,0)(,2)PQ，则直线 EP的方程为 2x，直线 G的方程为 2xy，yxo MQPHGFED CBA即 y+2= 2xy-2= - 两式相乘，消去 即得 M的轨迹 的方程为21(0
6、)64xyx练习与答案1. 设圆 C 与圆 x2+（y.3） 2=1 外切，与直线 y =0 相切，则 C 的圆心轨迹为 AA抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆2. 已知圆 ，圆 ，一动圆与这两个圆外1:(4)5y22:(4)1x切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。(x0)3. 过点 A(4，0)作圆 Ox +y2=4 的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹。(x-2) +y =4 (0x1)24. 已知圆 C： +(y-4) =1, 动点 P 是圆外一点，过 P 作圆 C 的切线，切点为 M，2)3(且PM=PO（O 为坐标原点） 。求动点 P 的轨迹方程。提示：PO =P M = 12C3x+
7、4y-12=05. 已知圆 21:(4)xy，圆 22:()1xy，动点 到圆 1, 2上点的距离的最小值相等.求点 的轨迹方程。解：动点 P 到圆 C 的最短距离为PC -1,1动点 P 到圆 C 的最短距离为PC -1,22依题意有：PC -1=PC -1 ， 即12PC =PC 12所以动点 P 的轨迹为线段 C C 的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为：12x+y-5=06. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 , 点 P（ ） ，Q（ ）2xy12A12,xy12,xy是双曲线上不同的两个动点。求直线 与 交点的轨迹 E 的方程。1Q解：由 为双曲线的左右顶点知，12,A2(,0) (,
8、)， ，两式相乘 ，1:()yPx12:yAx21()yx因为点 在双曲线上，所以 ，即 ，故 ，(,)21x212242yx所以 ，即直线 与 交点的轨迹 的方程为21xy1AP2QE21xy7. 已知曲线 与直线 交于两点 和 ，:Cyx:0ly(,)A(,)Bxy且 记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）ABxBLB为 设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合若点 是线段 的D(,)PstLPAQ中点，试求线段 的中点 的轨迹方程。QM解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线段 的2xy2,1BAx)25,1(P中点 坐标为 ，则 ，即 ，又点 在曲
9、线M),(5,2tys,yts上，C 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点 和点2)1(52xy 81xPLA重合，则 ，即 ，中点 的轨迹方程为 （B45M812xy）.451x8. 已知点 C（1，0） ，点 A、 B 是O ： 上任意两个不同的点，且满足29xy，设 P 为弦 AB 的中点。求点 P 的轨迹 T 的方程。0BAC解： 连结 CP，由 0ACB，知 ACBC|CP|AP| |BP| 1|2，由垂径定理知 22|OPA即 2|9OP 设点 P（x，y） ，有 2()(19xyy化简，得到 24。9.设椭圆 ，过点 的直线 交椭圆于 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足1
10、42yx)1,0(Ml，当 绕着 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程。)(OBAPl解：直线 过点 ，设其斜率为 k，则直线 的方程为 ，l1,0( l1kxy记 ， ，由题设可得点 A、B 的坐标),(1yx)2y ),(1,2是方程组 的解，其方程组中消取 得142xy034kx 22148ky 点 P 的坐标为 )(OBAP )2,(11yx即：点 P 为 ，4,22k设点 P 为 ，则 P 点的轨迹参数方程为 （ 为参数）),(yx24kyx消去参数 得：k042y当斜率 不存在时，A、B 的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点 P 的轨迹方程为 。2x10. 设圆 C 与两圆
11、2(5)4,(5)4yxy中的一个内切，另一个外切。求圆 C的圆心轨迹 L 的方程。解：两圆半径都为 2，设圆 C 的半径为 R，两圆心为 、 ，1(,0)F2(5,)由题意得 或 ，12|RF2|C，121|45可知圆心 C 的轨迹是以 为焦点的双曲线，设方程为 ，则2, 21xyab，所以轨迹 L 的方程为 24,5,acbcab2411. 如图所示，已知 P（4，0）是圆 内的一点。A、B 是圆上两动点，且满足362yx,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.09APB解：设 R(x,y),依题意，有OR +RA =36,而RA= RP ,所以22OR +RP =36, 即 36)4
12、(22yxy化简得： 1设 Q(X, Y),因为 R(x,y)是 QP 的中点，所以有x= ,y= ,故2XY14)(4(2化简得：X 56212. 在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 A，设 是 上一点，M 是线段 OPxOy:2lxPl的垂直平分线上一点，且满足 MPO=AOP。当点 P 在 上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方l程。解：如图 1，设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q，,|.MPQAPlM且因此 即2|xy4()1.另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧） 。MQ 为线段 OP 的垂直平分线，.MPQO又 ,.MPQAOQAO
13、P因此 M 在 轴上，此时，记 M 的坐标为x(,0)x为分析 的变化范围，设 为 上任意点(,0)中 2al().aR由 |（即 ）得，2a1.4x故 的轨迹方程为(,0)y综合和得，点 M 轨迹 E 的方程为2(1),0.x13. 点 M 是椭圆24y上的动点。如图，点 A的坐标为 (1,0)， B是圆 21xy上的点， N是点 在 x轴上的射影，点 Q满足条件： ， =0, 求线段ONMQAQB的中点 P的轨迹方程；解：设 M(,)(,)mBxyQ.因为 0,NxOMQ，故2,N2()4yMxy 因为 ,A(1)(0,QNnQxy所以 1. 记 P 点的坐标为 ,)Px，因为 P 是 BQ 的中点，所以 2,2PQPQPxy由因为 21Ny，结合，得2221()()4PQNQNxyxyw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 221()4QNnQNxyxy513P 故动点 P 的轨迹方程为（x- 。)2
